§ 5. Теоремы единственности
Положив в формуле Грина (15) гл. XVIII 
после несложных выкладок придем к соотношению:
Пусть 
— два решения задачи Дирихле:
удовлетворяющие требованиям, при которых справедлива формула Грина. Разность 
этих решений явится решением однородной задачи Дирихле:
удовлетворяющей тем же требованиям. Применив к разности 
формулу (27), получим:
Левая часть этого соотношения неотрицательна в силу неравенства
Если
то правая часть неположительна, так что равенство (29) возможно только при условии, что обе его части равны нулю. Ввиду непрерывности функции 
и нулевого граничного условия отсюда следует, что в области V функция 
т. е. 
Таким образом, задача Дирихле при соблюдении условия (30) имеет не более одного решения, непрерывного в области вместе со своими производными первого порядка.
Проводя доказательство этой теоремы единственности другим путем, можно показать, что требование непрерывности производных решения в замкнутой области V является излишним, достаточно требовать непрерывности самого решения. Рассмотрим задачу Неймана:
Предположим, что 
два решения задачи, удовлетворяющие требованиям, при которых к ним может быть применена формула Грина. Разность 
явится решением однородной задачи:
Применив к разности 
формулу (27), получим
Если
то, как легко видеть из этого интегрального соотношения, должно быть
в силу чего задача (32) примет вид:
Отсюда следует, что если при выполнении неравенств (34) хотя бы одна из функций 
и с неравна нулю тождественно, то 
Из соотношения (33), в силу непрерывности функции 
также следует, что 
если хотя бы одно из неравенств (34) является точным. Если же ни одно из этих дополнительных условий не имеет места, то из соотношения (35) вытекает, что 
Таким образом, задача Неймана при 
и выполнении условий (34) имеет не более одного решения, непрерывного в области V вместе со своими производными 1-го порядка. При 
решения задачи Неймана не могут отличаться более, чем на постоянное слагаемое. Если хотя бы одно из неравенств (34) является точным, либо функция с отлична от тождественного нуля, то эта постоянная равна нулю.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
