ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

К уравнениям гиперболического типа приводят задачи, связанные с процессами колебаний, например, задача о колебаниях струны, мембраны, газа, электромагнитных колебаниях и т. д. Характерной особенностью процессов, описываемых такими уравнениями, является конечная скорость их распространения.

Глава IV. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К ИЗУЧЕНИЮ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

§ 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера

1. Неограниченная струна.

Уравнение свободных колебаний однородной струны имеет вид

Положим

Нетрудно видеть, что суть характеристики уравнения (1). Уравнение (1) в новых переменных запишется в виде

или, переписав его в виде

получим

где со произвольная функция Интегрируя полученное уравнение по рассматривая как параметр, найдем, что

где произвольная функция Полагая теперь

получим

Возвращаясь к старым переменным будем иметь

Нетрудно проверить, что функция определяемая формулой (3), есть решение уравнения (1), если произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Решение (3) уравнения (1) называется решением Даламбера.

Выясним физический смысл решения (3).

Рассмотрим сначала частный случай колебания струны, когда т. е. когда смещение струны определяется формулой

Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный момент времени из точки струны, передвигается в положительном направлении оси со скоростью а, т. е. его абсцисса меняется по закону или Для такого наблюдателя смещение струны, определяемое формулой (4), будет оставаться все время постоянным, равным Самое явление, описываемое функцией называется распространением прямой волны. Таким образом, решение (4) представляет прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси х со скоростью а. Точно так же решение представляет обратную волну, которая распространяется в отрицательном направлении оси х со скоростью а.

Таким образом, решение (3) является суммой прямой и обратной волн.

Это приводит к следующему графическому способу построения формы струны в любой момент времени Строим кривые

изображающие прямую и обратные волны в начальный момент времени и затем, не изменяя их формы, передвигаем их одновременно со скоростью а в разные стороны: вправо,

влево. Чтобы получить теперь график струны, достаточно построить алгебраические суммы ординат раздвинутых кривых.

Рис. 3

Рассмотрим верхнюю полуплоскость в которой ось соответствует положению струны в начальный момент времени Всякая точка нашей полуплоскости характеризует определенную точку х струны в определенный момент времени Нетрудно при этом найти графически те точки струны начальные возмущения которых дошли в момент времени до точки Это будут, согласно предыдущему, точки с абсциссами так как а есть скорость распространения колебаний. Для нахождения их на оси х достаточно провести через точку две характеристики

и в пересечении их с осью и получаются искомые точки (рис. 3).

Вдоль первой характеристики сохраняет постоянное значение, т. е. эта прямая дает те значения при которых прямая волна дает то же отклонение, что и при значениях Вторая характеристика из (5) играет ту же роль для обратной волны Можно сказать коротко, что возмущения распространяются по характеристикам.

2. Задача Коши.

Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

Ввиду неограниченности струны функции заданы в

В решении (3) уравнения (1) нужно выбрать функции так, чтобы удовлетворить начальным условиям (6). Из начальных условий (6) имеем:

откуда, интегрируя второе равенство, получим:

где С — произвольная постоянная.

Из равенств (7) находим

Подставив (8) в (3), будем иметь

или окончательно

Формула (9) дает решение задачи Коши (1), (6), если имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а первого.

Задача Коши (1), (6) поставлена корректно. Действительно, полученное решение единственно, что следует из способа вывода формулы (9). Несомненна далее непрерывная зависимость решения (9) от начальных данных. В самом деле, для любого можно указать такое что если заменить на так, что

то разность между новым решением и первоначальным будет по абсолютной величине меньше на любом конечном отрезке времени. Это утверждение легко следует из формулы (9). Рассмотрим два частных случая.

I) Начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное смещение имеет место лишь в конечном промежутке струны, т. е. вне этого промежутка. Решение (9) выражается при этом формулой

Решение (10) является суммой двух волн, распространяющихся направо и налево со скоростью а, причем начальная форма обеих волн определяется функцией равной половине начального

смещения. Пусть точка х струны лежит правее промежутка При из вида функции и формулы (10) следует, что и т. е. до точки х волна еще не дошла. С момента времени — точка х начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта прямой волны). При из формулы (10) следует, что Моменту времени соответствует прохождение заднего фронта прямой волны через точку после чего в этой точке обращается в нуль. Аналогичные рассуждения можно провести для точек струны, лежащих внутри промежутка или левее его. Таким образом, в каждой точке струны после прохождения обеих волн (а для точек, лежащих вне области начального смещения, после прохождения только одной) наступает покой.

2) Начальное смещение равно нулю, отлична от нуля лишь в конечном промежутке В таком случае говорят, что струна имеет только начальный импульс. Решение (9) принимает следующий вид:

или, полагая

получим

т. е. по струне распространяются две волны — одна прямая и одна обратная. Исследуем решение (11) более подробно. Пусть точка х струны лежит правее промежутка При промежуток интегрирования вырождается в точку х, а затем при увеличении он расширяется в обе стороны со скоростью а.

При он не будет иметь общих точек с функция в нем равна нулю, и формула (11) даст и т. е. покой в точке х. Начиная с момента времени промежуток будет налегать на , в котором отлична от нуля, и точка начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку Наконец, при промежуток будет содержать целиком промежуток , интегрирование по будет сводиться к

интегрированию по так как вне его при мы имеем постоянное значение равное

Момент времени есть момент прохождения заднего фронта волны через точку х.

Таким образом, действие начального импульса приводит к тому, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, длина которого выражается интегралом (12), и остаются без движения в этом новом положении. Волны оставляют после себя как бы след своего прохождения.

3. Ограниченная струна.

Рассмотрим теперь струну длины закрепленную на концах. Задача о колебании такой струны сводится к нахождению решения волнового уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

Решение Даламбера

конечно, годится в этом случае, но определение по формулам

встречает здесь то затруднение, что функции а следовательно, определены лишь в промежутке согласно физическому смыслу задачи, а аргументы в формуле (16) могут лежать и вне этого промежутка. Стало быть, для возможного применения решения (16) нужно продолжить функции или, что вполне эквивалентно, функции вне промежутка ( С точки зрения физической, это продолжение сводится к определению такого начального возмущения

бесконечной струны, чтобы движение ее участка было то же самое, как если бы он, был закреплен на концах, а оставшаяся часть струны была бы отброшена.

Для продолжения функций воспользуемся граничными условиями (14). Подставляя в правую часть и принимая во внимание граничные условия (14), получим:

или, обозначая через х,

Когда х изменяется в промежутке ( то первая из формул (18) определяет функцию в промежутке вторая — функцию в промежутке Стало быть, обе функции вполне определяются на промежутке длины 21. Далее из равенств (18) следует, что

т. е. функции являются функциями периодическими с периодом 21. Итак, функции определены при всех вещественных х.

Принимая во внимание, что

найдем

Эти формулы показывают, что функции продолжаются из промежутка в промежуток нечетным образом, а затем с периодом 21.

Чтобы полученное решение имело непрерывные производные до второго порядка включительно, нужно, помимо условий дифференцируемости функций потребовать еще выполнения условий

Это есть условия согласования начальных и граничных условий.

Выясним, какое действие оказывают закрепленные концы струны на ее колебания. Для этого обратимся к полуплоскости Ввиду ограниченности струны надо рассматривать только полосу верхней полуплоскости заключающуюся между прямыми (рис. 4). Проведем через точки характеристики до встречи с противоположными границами полосы и т. д. Мы разобьем, таким образом, полосу на области (I), (II), (III), ...

Точки области (I) соответствуют тем моментам времени когда к точкам х струны доходят прямая и обратная волны, вошедшие в начальный момент времени из внутренних точек струны. Следовательно, фиктивно добавленные бесконечные части струны еще на процесс колебания не влияют.

Рис. 4

Точки вне области (I) соответствуют тем моментам времени когда к точкам х струны доходят уже волны, вышедшие в начальный момент времени из фиктивной части струны. Возьмем, например, точку в области (II). Так как

то в этой точке имеются две волны: одна — прямая, дошедшая от начально возмущенной точки струны с абсциссой другая - обратная из точки с абсциссой причем в данном случае есть реальная точка струны, фиктивная. Нетрудно заменить ее реальной точкой, заметив, что, в силу (18),

и, таким образом, обратная волна есть не что иное, как прямая волна — вышедшая в начальный момент времени из точки (симметричной с относительно точки которая, дойдя до конца струны в момент

изменила свое направление и знак на обратный и к моменту времени дошла в таком виде до точки

Таким образом, действие закрепленного конца свелось к отражению волны смещения, связанному с переменой знака смещения и с сохранением его абсолютной величины.

То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших до конца в точках области мы будем иметь две волны: обратную и прямую, отраженную от конца В точках областей (IV), (V), (VI), ... получим волны, которые претерпели несколько таких отражений от обоих концов струны.

Из предыдущих рассуждений следует, что колебание струны, закрепленной на концах, будет периодическим с периодом