§ 5. Некоторые интегральные представления функций Бесселя
Функции Бесселя допускают различные представления в виде определенных и контурных интегралов. Одно из наиболее простых интегральных представлений для функций Бесселя принадлежит Пуассону. Оно может быть получено следующим образом. Мы имеем
Умножив числитель и знаменатель общего члена этого ряда на 
и приняв во внимание, что
получим
или, в силу известной формулы
получим
Вследствие равенства (52) ряд (51) принимает вид
Переставив знак суммы и интеграла, получим
Эта перестановка порядка интегрирования и суммирования законна ввиду равномерной сходимости ряда, находящегося под знаком интеграла. Этот ряд легко суммируется: он равен 
Таким образом, окончательно имёем формулу Пуассона:
причем для сходимости интеграла должно быть 
тогда как х может иметь любое вещественное или комплексное значение.
Введя новую переменную интегрирования с помощью подстановки 
можно (54) представить в виде
Ввиду четности подынтегральной функции и нечетности функции 
можем написать также:
С помощью формулы Пуассона легко можно оценить при любом вещественном х. Действительно, приняв во внимание, что 
из (54) получим
Правая часть последнего неравенства, как это видно из (52), есть не что иное, как абсолютная величина первого члена разложения 
Таким образом, получается простое неравенство, справедливое при любом вещественном 
Из других представлений функций Бесселя рассмотрим представление пригодное, однако, только для функций 
с целым значком, которое может быть получено следующим образом.
Перемножив ряды
которые при 
сходятся абсолютно, так что перемножение законно, и группируя результат по степеням 
получим
причем 
при 
получается равным
тогда как при 
будет, если положить 
Теперь выражение (56) можно переписать так:
Функцию 
называют производящей функцией для функций Бесселя с целым значком.
В силу соотношения 
формулу (57) можно переписать так:
Положив здесь 
получим
Умножим обе части последнего равенства на 
где 
некоторое целое положительное число, и проинтегрируем по 
в пределах от 
до 
. Тогда, в силу
получим
Отделяя в правой части вещественную и мнимую части и пользуясь свойствами интегралов от четных и нечетных функций, легко находим
Заметим, что формула (59) не имеет места, если значок 
не есть целое число. В данном случае мы имеем более сложную формулу, а именно:
причем эта формула справедлива при любом 
