Пусть 
решения уравнения (13), удовлетворяющие начальным условиям:
— их определитель Вронского. В силу (13) и (15) 
, поэтому
где функция 
не зависит от х и обращается в нуль тогда и только тогда, когда функции 
линейно зависимы, т. е. когда 
где с — постоянная. Согласно (15), функция их удовлетворяет первому из граничных условий (14), а 
второму. Поэтому, если при некотором 
они линейно зависимы, то каждая из них удовлетворяет обоим условиям (14) и, тем самым, есть собственная функция задачи 
есть собственное число. Следовательно, функция 
обращается в нуль тогда и только тогда, когда 
собственное число. Введем функцию
Она определена, если 
не собственное число, непрерывна по аргументам х и I, удовлетворяет граничным условиям (14), а при 
уравнению (13). При 
ее первая производная испытывает разрыв, в силу (16), равный
Если 
собственное число и 
то прямой подстановкой легко проверить, что функция
есть решение неоднородной граничной задачи для уравнения 
при граничных условиях (14). Функцию 
называют функцией Грина этой неоднородной задачи.
непрерывна на 
Тогда с помощью подстановки 
задача (7)-(8) преобразуется к виду
отличны от 
но удовлетворяют (9) и (10).
