§ 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения

Рассмотрим задачу о распространении ТМ-волн в полости проводника, представляющей круглый цилиндр неограниченной длины (круглая труба).

По § 3 эта задача приводится к однородной задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца (27), которое в цилиндрических координатах примет вид:

Ось здесь предполагается направленной вдоль оси полости, по оси системы координат, использованной в § 3.

Разделив переменные в (44) с помощью подстановки придем к уравнениям:

Так как функция и, очевидно, должна иметь период по координате то допустимые значения

Второе уравнение представляет уравнение Бесселя. Граничное условие для дает следующее граничное условие для

где — радиус полости. Решениями второго уравнения (46), удовлетворяющими условию (47) и ограниченными при являются функции Бесселя порядка где - корни уравнения

Таким образом, частные решения уравнения (44), удовлетворяющие граничному условию имеют вид

где произвольные постоянные. Каждое из решений этого вида соответствует ТМ-волне с тем или иным расположением узловых линий. Пользуясь соотношениями, приведенными в задаче 2 к § 3, путем дифференцирования выражений (49) могут быть найдены все поперечные компоненты поля.

При корень уравнения (48) имеет наименьшее значение это значение определяет частоту отсечки В воздухе длина волны, имеющеи частоту равна Волны, имеющие в воздухе большую длину, не могут распространяться в рассматриваемом волноводе без затухания. Как ясно из выражений (49), поле при не зависит от угловой координаты При поле зависит от причем имеется радиальных узловых линий При имеем также узловых линий в виде концентрических окружностей с центром на оси волновода. Каждой из ТМ-волн, характеризуемых определенными значениями пит, соответствует определенная частота отсечки

где корень уравнения Волны с данными и частотой, меньшей не могут распространяться в волноводе без затухания. Следует отметить, что возбуждение в полости чистых колебаний высоких частот с данными пит практически затруднительно. Они, однако, в той или иной доле присутствуют как обертоны, так же как, например, при колебаниях мембраны.

ЗАДАЧИ

(см. скан)