§ 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения
Рассмотрим задачу о распространении ТМ-волн в полости проводника, представляющей круглый цилиндр неограниченной длины (круглая труба).
По § 3 эта задача приводится к однородной задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца (27), которое в цилиндрических координатах 
примет вид:
Ось 
здесь предполагается направленной вдоль оси полости, по оси 
системы координат, использованной в § 3.
Разделив переменные в (44) с помощью подстановки 
придем к уравнениям:
Так как функция и, очевидно, должна иметь период 
по координате 
то допустимые значения
Второе уравнение представляет уравнение Бесселя. Граничное условие для 
дает следующее граничное условие для 
где 
— радиус полости. Решениями второго уравнения (46), удовлетворяющими условию (47) и ограниченными при 
являются функции Бесселя 
порядка 
где 
- корни уравнения
Таким образом, частные решения уравнения (44), удовлетворяющие граничному условию 
имеют вид
где 
произвольные постоянные. Каждое из решений этого вида соответствует ТМ-волне с тем или иным расположением узловых линий. Пользуясь соотношениями, приведенными в задаче 2 к § 3, путем дифференцирования выражений (49) могут быть найдены все поперечные компоненты поля.
При 
корень уравнения (48) имеет наименьшее значение 
это значение определяет частоту 
отсечки 
В воздухе длина волны, имеющеи частоту 
равна Волны, имеющие в воздухе большую длину, не могут распространяться в рассматриваемом волноводе без затухания. Как ясно из выражений (49), поле при 
не зависит от угловой координаты 
При 
поле зависит от 
причем имеется 
радиальных узловых линий 
При 
имеем также 
узловых линий в виде концентрических окружностей с центром на оси волновода. Каждой из ТМ-волн, характеризуемых определенными значениями пит, соответствует определенная частота отсечки
корень уравнения 
Волны с данными 
и частотой, меньшей 
не могут распространяться в волноводе без затухания. Следует отметить, что возбуждение в полости чистых колебаний высоких частот с данными пит практически затруднительно. Они, однако, в той или иной доле присутствуют как обертоны, так же как, например, при колебаниях мембраны.
