§ 10. Разложение по бесселевым функциям

1. В качестве примера применения изложенной выше теории рассмотрим разложения по функциям Бесселя. Уравнение Бесселя

с помощью подстановок: и приводится к виду (60)

Линейно независимыми решениями уравнения (89) являются выражения где функции Бесселя и Вебера (гл. XIII, § 1). Коэффициент имеет особенность при

Выведем несколько формул, которые понадобятся в дальнейшем.

Пусть два решения уравнения Бесселя (88). В силу тождества Лагранжа (5)

где с — постоянная. Чтобы вычислить ее, воспользуемся формулами (14), (15) гл. XIII и положим

что

Многоточием обозначены члены, образующие степенные ряды по Поскольку правая часть должна иметь вид эти ряды тождественно равны нулю. Используя равенства получим

Опираясь на это тождество и используя формулы (17) и (62) гл. XIII, найдем тождества:

2. Сначала рассмотрим интервал где В точке а коэффициенты уравнения (89) не имеют особенностей и применимы формулы § 7. Найдем разложение по собственным функциям задачи вида (62) — (63) с коэффициентами, соответствующими (89). Для простоты в (63) примем или, что то же,

а) Найдем решения уравнения (89), удовлетворяющие начальным условиям при т. е. условиям

Из (94) и (91) следует, что функции х и выражаются через функции соотношениями

б) Вычислим функцию Из (64) гл. XIII следует, что при одно из линейно независимых решений уравнения (89), именно неограниченно растет при Поэтому для уравнения (89) при имеет место случай предельной точки, а тогда для вычисления можно применить следующий прием. Согласно (54) решение принадлежит Так как в случае предельной точки линейно независимое решение класса может быть только одно, а ввиду (64) гл. XIII им является то может отличаться от только постоянным множителем, т. е.

где постоянная. Подставив из и приравняв коэффициенты при получим

С помощью и (61) гл. XIII легко убедиться, что четная функция , т. е. не зависит от выбора знака Следовательно, однозначная функция Ниже принято значение берется с неотрицательной вещественной частью.

в) Перейдем к вычислению спектральной функции Ввиду (98)

Умножим числитель и знаменатель выражения в квадратных скобках в правой части (99) на Так как функции принимают вещественные значения при вещественных значениях то, приняв во внимание (91), при получим

Знаменатель выражения в правой части в нуль не обращается, так как нули функций перемежаются. Следовательно, на полуоси функция особенностей не имеет и в (72) при можно совершить предельный переход под знаком интеграла. Отсюда ясно, что при спектральная функция непрерывна.

При аргумент чисто мнимый. Используя равенство

где функция Макдональда, преобразуем соотношение (99) к виду

Функция Макдональда вещественна и положительна при вещественных положительных Поэтому функция, стоящая за символом в правой части последнего соотношения, вещественна и не имеет особенностей Ввиду этого в (72) можно перейти к пределу под знаком интеграла. При этом подынтегральное выражение обратится в нуль и, значит, при

Поскольку не имеет особенностей на вещественной оси, то можно использовать (74), что даст

Подставив значения и в (72), для получим разложение

3. Перейдем к разложениям на интервале В точке один из коэффициентов уравнения (88) имеет неинтегрируемую особенность. Как указывалось, сингулярная задача с неинтегрируемой особенностью аналогична задаче без особенностей в коэффициентах уравнения, но с бесконечным интервалом изменения х в одном из направлений. Поэтому граничное условие следует задать в точке Примем его тем же, что и выше, т. е. Тогда для функций справедливы формулы (95), (96).

а) Пусть сначала Ввиду (15) и (16) гл. XIII при и 1 решение уравнения (88) не принадлежит классу следовательно, имеет место случай предельной точки. Для вычисления функции применим тот же прием, что и выше. Решение -принадлежит классу (см. § 6), поэтому

где постоянная. Подставив сюда выражения функций и приравняв множитель при функции нулю, получим

Используя (14) гл. XIII, легко убедиться, что четная и, следовательно, однозначная функция Как и раньше, под будем понимать значение с положительной вещественной частью. При мнимая часть равна нулю, так как функция Бесселя вещественна при вещественных значениях аргумента. При используя (66) гл. XIII, найдем, что

где функция вещественна при вещественных значениях аргумента (гл. XIII, § 7). Подставив эти выражения в (102), убедимся, что также и при Таким образом, функция вещественна при вещественных следовательно, точки непрерывности функции на вещественной оси не вносят вклада в спектральную функцию.

Полюсы совпадают с нулями знаменателя первого члена правой части (102), т. е. с корнями уравнения

Вблизи нуля

а многоточием обозначены члены, которые при близком к имеют меньший порядок малости, чем написанные. Подставив это выражение в (73) (где ) заменено на и заметив, что при малом

найдем скачок спектральной функции в точке

В разложение (71) войдут значения функций только в точках где при рассматриваемом граничном условии

В силу (91) и (103),

так что

Подставив полученные соотношения в и имея в виду, что интеграл по спектральной функции в рассматриваемом случае в соответствии с (59) и (104) сводится к сумме, после простых выкладок получим:

где любая функция класса

б) Пусть теперь Тогда все решения уравнения (83) принадлежат и имеет место случай предельной окружности. При нецелом ввиду (17) гл. XIII, выражения (95) и (96) могут быть записаны в виде:

Функция является пределом выражения (46), когда величины пробегают некоторую бесконечную последовательность где при Чтобы вычислить этот предел, заметим, что, ввиду (14) гл. XIII, при малых значениях

(Напомним, что символ означает выражение того же порядка малости, что и ) Малые члены, не влияющие на

значение предела, для сокращения письма ниже обозначим многоточием.

В силу (110) и (108),

откуда

Выражение для с точностью до члена — получается отсюда заменой множителей соответственно на В зависимости от выбора последовательности выражение при фиксированном может стремиться к любому вещественному числу или Обозначив символом с предел этого выражения, умноженный на получим

При изменении с от до и фиксированном I точка описывает на комплексной плоскости предельную окружность. Функция четная функция т. е. не зависит от выбора знака Следовательно, она — однозначная функция На вещественной оси эта функция вещественна, т. е. Поэтому точками роста спектральной функции могут быть только полюсы функции Они совпадают с нулями ее знаменателя, являющимися

корнями уравнения

Скачок спектральной функции в точке равен вычету функции в этой точке. Простые вычисления дадут:

Заменив в (70) пределы интегрирования по х на пределы 0, а и подставив в (108), получим

где Подставив найденные величины в (71), придем к разложению

Приняв во внимание (112) и (113), легко видеть, что при этот ряд переходит в ряд по функциям Бесселя порядка а при в ряд по функциям Бесселя порядка

в) Обратимся, наконец, к случаю В силу (19) гл. XIII при малых

где - постоянная Эйлера. Согласно (95) и (14) гл. XIII при малых значениях

откуда

(см. скан)

Чтобы получить выражение для здесь надо заменить на соответственно. В зависимости от выбора последовательности при отношение

может стремиться к любому вещественному числу или Функция есть предел выражения (46). Подставив значения величин и перейдя к пределу при получим

При изменении с от до точка описывает предельную окружность. Можно показать что, как и выше, функция не меняется при изменении знака следовательно, — однозначная функция Разложение в ряд поэтому строится, как и выше. В частности, при получается разложение по функциям Бесселя нулевого порядка.

4. Рассмотрим, наконец, разложение по функциям Бесселя на интервале когда оба конца интервала сингулярны.

Выберем некоторую точку в качестве «опорной точки». Она будет играть ту же роль, что точка в случае интервала Именно, пусть решения уравнения удовлетворяющие начальным условиям:

Тогда (§ 6) функции принадлежат соответственно классам и Начальные условия (117) совпадают с (95). Поэтому можно непосредственно воспользоваться результатами, полученными выше.

а) Пусть При этом на обоих концах интервала имеет место случай предельной точки и функции могут быть определены из соотношений где постоянные. Это было сделано выше и получены выражения (106) и (97). Выше было также показано, что функция особенностей не имеет, а вещественна при вещественном значении аргумента. Поэтому соблюдены условия, при которых разложению может быть придан вид (87).

Используя (102), (98) и (92), получим

С помощью (61), (66) и (69) гл. XIII для мнимых значений т. е. для этому выражению может быть придан вид

Заметив, что функции вещественны при вещественных так что при и используя (61) гл. XIII, получим

Так как это выражение непрерывно, то в (82) для можно перейти к пределу под знаком интеграла, после чего, взяв дифференциал от обеих частей, получим

Вычислив с помощью (95), (96) и (91) функцию

и подставив значения величин в (87), придем к разложению:

б) Перейдем к случаю Функции определяются теперь формулами (111) и (98). Функция полюсов не имеет, а функция вещественна при вещественных значениях аргумента. Поэтому, как и при разложению может быть придан вид (87).

Заметив, что и используя (111), (98) и (92), получим

При т. е. при вещественных положительных значениях

Эта функция при всех значениях с непрерывна и, следовательно, положительная часть спектра непрерывна. При т. е. при выразив функции через функции получим:

Эта функция вещественна и, следовательно, отрицательная часть спектра не содержит точек непрерывного спектра. При эта функция непрерывна и спектр вообще не имеет отрицательной части. Используя (90), найдем, что

Подставив это выражение и вычисленные выше величины в (82) и (87), придем к разложению

которое при примет вид (118).

Если то в точке т. е. при выражение (119) имеет полюс. Вблизи полюса

Многоточием здесь обозначены члены, имеющие больший порядок малости, чем написанные. Подставив значения величин в (119), получим

Скачок спектральной функции при равен взятому с обратным знаком коэффициенту при Далее, при

в силу чего

Следовательно, при к правой части (120) надо добавить член

При функция убывает как Следовательно, при дополнительный член обращается в нуль и снова, как и при получается разложение вида (118).

в) Пусть, наконец, Используя (111) и (98), а также (92) и (93), найдем, что

Далее найдем, что ввиду (61) гл. XIII, для

Эта функция непрерывна при всех Для т. е. для чисто мнимых значений получим

Эта функция вещественна и, следовательно, отрицательный спектр не содержит непрерывной части. При т. е. при имеется полюс, в окрестности которого

Отсюда в окрестности

Предоставив остающиеся выкладки читателю, выпишем окончательный вид разложения: