§ 4. Теорема единственности
Докажем единственность решения волнового уравнения при заданных начальных условиях. Для простоты записи будем считать 
, чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравнении 
на Для большей наглядности рассмотрим случай трех независимых переменных, т. е. волновое уравнение
с начальными условиями
Докажем единственность решения задачи Коши (16)-(17), предполагая, что решение 
имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.
Пусть 
суть два решения уравнения (16), удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям (17). Тогда разность
будет удовлетворять волновому уравнению (16) и нулевым начальным условиям
Теорема единственности будет доказана, если мы докажем, что 
при любых 
и при любом 
Рассмотрим трехмерное пространство 
и возьмем в нем произвольную точку 
причем 
Из этой точки, как вершины, проведем конус
до его пересечения с плоскостью 
Проведем еще плоскость 
где 
и пусть 
область, ограниченная боковой поверхностью 
конуса и частями плоскостей 
находящихся внутри конуса 
усеченный круговой конус). Обозначим через 
и соответственно нижнее и верхнее основания усеченного конуса.
Нетрудно проверить следующее тождество: 
Проинтегрируем это тождество по области 
Интеграл от левой части равен нулю, так как и является решением уравнения (16). Интеграл в правой части преобразуем в интеграл по поверхности области 
пользуясь формулой Остроградского. Тогда получим
На нижнем основании 
усеченного конуса 
в силу начальных условий (18), функция 
и все ее частные производные первого
порядка равны нулю и, следовательно, второй интеграл в (19) равен нулю. На верхнем основании 
имеем
На боковой поверхности 
конуса направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению
Теперь равенство (19) можно переписать в виде
На боковой поверхности 
следовательно, первый интеграл неотрицателен, а потому
Отсюда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной 
частные производные первого порядка функции и равны нулю и, следовательно, сама функция 
На нижнем основании конуса она равна нулю в силу (18), а следовательно, 
в точке 
