§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне

Рассмотрим задачу об остывании однородного цилиндрического стержня с круговым сечением радиуса а. Теплоотдачей с торцов стержня будем пренебрегать, а начальное распределение температуры в любом из его сечений и условия теплоотдачи по длине стержня считать одинаковыми. При этих предположениях распределение тепла описывается в полярных координатах уравнением (гл. XXVIII, § 3)

где температура стержня, коэффициент температуропроводности. Начало полярных координат предполагается лежащим на оси стержня.

Будем считать, что с поверхности стержня происходит излучение в среду с нулевой температурой. При этом граничные условия по будут иметь вид

а по очевидно, должно соблюдаться условие периодичности:

Начальное условие возьмем в форме

Применим интегральные преобразования, чтобы исключить дифференциальные операции по и по Начнем с переменной Положим

Ядро преобразования, которое обозначим через должно удовлетворять дифференциальному уравнению

и условию периодичности

Как мы упоминали, условие периодичности может повлечь за собой двукратное вырождение собственных чисел, т. е. каждому из них могут соответствовать две линейно независимые собственные функции. Взаимно ортогональными линейно-независимыми нормированными решениями задачи (25) — (26) являются функции при Положим

Осуществив в интервале преобразование с этим ядром и приняв во внимание, что значению и значению соответствует одно и то же собственное число приведем задачу (21) — (24) к виду:

где

Ввиду наличия двух различных начальных условий (30) каждому значению соответствуют два различных решения уравнения (28). Эти решения обозначим через и соответственно.

Чтобы исключить дифференциальные операции по положим

В этом дифференциальном выражении

откуда

Ядро преобразования должно удовлетворять уравнению

приводящемуся путем деления на к уравнению Бесселя

и граничным условиям

Ограниченными при решениями уравнения (31) являются функции Бесселя Подставив функцию во второе из условий (32), придем к уравнению

корни которого X определяют собственные числа задачи (31)-(32).

Положим где нормирующий множитель. С помощью формулы (41) гл. XIII найдем, что

Выполнив в интервале а интегральное преобразование с ядром и весовой функцией приведем задачу (28)-(30) к виду:

где

Решением задачи является функция

Осуществив обратные преобразования, получим:

Это и есть искомое решение задачи в форме двойного ряда.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)