§ 2. Потенциалы разных порядков

Рассмотрим треугольник (рис. 30). Введем обозначение для длин сторон треугольника:

По известной формуле

где у — угол Обозначим через часть пространства, расположенную вне шара где наибольшее из расстояний когда

Рис. 30

Если то вследствие чего функция у разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

где, согласно § 5 гл. XVI, - полиномы Лежандра. С другой стороны, заметив, что

разложим функцию в ряд Тейлора по степеням разностей что даст

Равенство фигурных скобок указывает, что после выполнения дифференцирования координаты 13 точки следует заменить координатами точки Когда этот ряд также сходится абсолютно и равномерно. Так как

то дифференцирование по можно заменить дифференцированием по При этом подстановку можно осуществить до дифференцирования. В силу тождества это даст

Заметив, что отношения равны направляющим косинусам отрезка (см. рис. 30), вследствие чего выражение

означает операцию дифференцирования по направлению отрезка получим

Сравнив ряды (3) и (6), придем к следующему представлению для полиномов Лежандра:

из которого, в частности, следует, что произведение не зависит от а зависит только от угла у.

Умножим ряды (3) и (6) на и почленно проинтегрируем их (что допустимо ввиду их равномерной сходимости) по области V распределения масс. В результате получим разложение ньютоновского потенциала (1) в бесконечный ряд:

где

Функции называются потенциалами порядка Легко убедиться, что они гармоничны.

При достаточно большом удалении от области V ньютоновский потенциал со сколь одно высокой точностью описывается первым из потенциалов порядка не равным нулю. Действительно, согласно формуле (14) гл. XVI: Поэтому

где

наибольшее значение в области Подставив эту оценку в формулу (9), получим

в силу чего

Пусть

— первый из неравных тождественно нулю потенциалов. При он стремится к пулю, как тогда как, согласно соотношению (10), сумма всех остальных потенциалов убывает, как

Это и доказывает сделанное утверждение.

Для поля тяготения плотность сохраняет знак. Поэтому, приняв за точку центр тяжести масс, можно добиться, чтобы потенциал первого порядка обратился в нуль. Следовательно, на расстоянии, большом по сравнению с поперечными размерами области распределения масс, их ньютоновский потенциал с точностью до малых третьего порядка совпадает с ньютоновским потенциалом материальной точки, расположенной в центре тяжести масс и имеющей массу, равную полной массе, распределенной в области

Положив в неравенстве найдем, что ньютоновский потенциал убывает на бесконечности не медленнее, чем

ЗАДАЧА

(см. скан)