§ 4. Интегральные представления полиномов Лежандра

Кроме дифференциальной формулы Родрига (5) можно для полиномов Лежандра получить ряд интегральных представлений. Так, Шлэфли представил полиномы Лежандра в виде комплексных интегралов

где произвольный замкнутый контур, охватывающий точку х.

Для доказательства заметим, что по теореме Коши интеграл равен вычету подынтегральной функции, соответствующему единственному полюсу Коэффициент при в разложении полинома по степеням равен — и

потому искомый вычет есть а это не что иное, как

Из формулы Шлэфли можно получить формулу Лапласа:

Пусть — вещественное число, большее чем единица; положим, что контур в формуле (12) есть окружность с центром х и радиусом Тогда можно сделать замену переменных

причем изменяется от до Имеем

Подставляя в формулу (12), получим

Формула (13) доказана для значений но так как полином, то она справедлива и для всех значений причем выбор знака у радикала совершенно безразличен, потому что при разложении функции, стоящей под интегралом, по формуле бинома Ньютона и последующем затем интегрировании члены, содержащие радикалы, пропадают.

Из интегральной формулы Лапласа (13) можно получить следующую оценку:

Действительно,

Заметим, что оценку (14) для всего отрезка улучшить нельзя, ибо