§ 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана

Применим метод Римана к нахождению решения уравнения (9), удовлетворяющего начальным условиям

Прежде всего преобразуем это уравнение к каноническому виду, введя новые независимые переменные по формулам

Тогда уравнение (9) примет вид

Прямая в новых переменных будет биссектрисой (рис. 12):

Рис. 12

Далее, из формул (12) вытекает, что

откуда следует, что

или, в силу начальных условий (11), имеем

а также

Полагая в формуле Римана и приняв во внимание (14), получим

Найдем теперь функцию Римана ту, Она должна удовлетворять сопряженному уравнению

и обращаться на характеристиках и в единицу. Будем искать решение уравнения (18) в виде

Подставив это выражение в уравнение (18) и обозначив через К корень найдем, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

частным решением которого является функция Бесселя нулевого порядка:

Отсюда ясно, что, взяв

получим решение уравнения (18), которое обращается на характеристиках в единицу, так как здесь

Таким образом, функция Римана найдена, она имеет следующий вид:

Отсюда легко получим:

и, следовательно,

Подставив теперь (15) (16) и (22) в формулу (17) и приняв во внимание, что

получим

Возвращаясь теперь к старым переменным (значки О опущены) и вводя новую переменную интегрирования получим

где