§ 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального преобразования

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:

где

— дифференциальное выражение второго порядка с переменными коэффициентами, заданная функция.

Выберем одну из переменных в качестве переменной преобразования, рассматривая остальные переменные как параметры. Пусть -пределы изменения которые могут быть и бесконечными. В общем случае могут зависеть от параметров Это не исключает полностью возможности выполнения интегрального преобразования уравнения, однако настолько усложняет преобразованное уравнение, что стремиться к этой степени общности нет смысла. Поэтому будем считать, что

1°. Пределы изменения переменной преобразования не зависят от параметров

Подвергнув уравнение (2) в интервале изменения переменной интегральному преобразованию вида (1), получим:

где интегральное преобразование свободного члена Поставим целью найти достаточные условия, при которых это интегральное соотношение может быть преобразовано в дифференциальное уравнение относительно интегрального преобразования

искомой функции

Для сокращения письма дифференцирование по переменной преобразования ниже будем обозначать штрихами.

Предположим, что:

2°. Интегралы в левой части (4) равномерно сходятся относительно параметров а подынтегральные выражения — непрерывные функции этих параметров.

3°. Дифференциальное выражение (3) может быть представлено в виде

где

а

— дифференциальное выражение, содержащее ни производных по переменной преобразования зависящих от нее коэффициентов.

Это предположение равносильно двум следующим:

3°а. Коэффициенты при не зависят от

Ввиду 2° в первом интеграле в левой части (4) можно изменить порядок интегрирования по и дифференцирования по а тогда ввиду этот интеграл преобразуется к виду

Отметим, что это преобразование эквивалентно формальной замене в (6)

Второй интеграл в левой части (4) проинтегрируем по частям:

Последняя сумма в правой части обращается в нуль ввиду Преобразованное уравнение не будет содержать интегральных

членов, если

где величина, не зависящая от Тогда

Соотношение примем за уравнение, определяющее ядро преобразования при ядро будет определено граничными условиями). Сделаем определенные предположения о свойствах коэффициентов Можно предполагать, что коэффициенты зависят от параметров если постулируемые ниже их свойства имеют место равномерно относительно совокупности этих параметров. Однако зависимость от вообще говоря, настолько усложняет преобразованное уравнение, что в этой степени общности рассмотрения нет смысла. Поэтому примем, что:

4°. Коэффициенты и не зависят от параметров

Далее предположим, что:

5°. При величины непрерывны по а Возможность отклонения от условий 5° в граничных точках будет обсуждена в следующих параграфах (см. также гл. XXXII, § 1).

При условиях 5° уравнение (11) выбором весовой функции можно преобразовать в самосопряженное (гл. XXXII, § 1). Для этого запишем его в виде

где

— непрерывная функция переменной преобразования Определим функцию условием:

откуда

Легко видеть, что решением этого уравнения служит функция

Здесь символ означает, что нижним пределом может быть любая точка из интервала определения коэффициентов

Весовая функция определенная (15), положительна при всех из интервала и имеет непрерывную вторую производную. При рассматриваемом выборе весовой функции вследствие (14) уравнение (12) примет вид

где

Ввиду 5° при коэффициент а величины непрерывны.

Отметим, что тогда, когда ядро интегрального преобразования удовлетворяет уравнению (11) или (16), то интегральное преобразование слагаемого в (6) формально эквивалентно замене

Тем самым дифференциальная операция заменяется алгебраической операцией умножения на

Обратимся к внеинтегральному члену в правой части (10). При условиях (9) и (14) он равен разности

где а — значения выражения

при соответственно. При обозначении (18) и условиях 1° — 5° преобразованное уравнение (2) примет вид

Чтобы разность при надлежащем выборе ядра преобразования могла быть выражена только через заданные в задаче величины, достаточно предположение

6°. Дополнительные данные задачи (граничные и начальные условия и т. п.) распадаются на две группы, из которых первая не содержит производных по переменной преобразования и зависящих от нее коэффициентов, а вторая не содержит производных по параметрам и представляет условия, заданные на пределах Если первая группа данных содержит производные по то порядок дифференцирования по и интегрирования по может быть изменен.

Применение интегрального преобразования к первой группе данных, очевидно, сводится к замене функций переменной их интегральными преобразованиями. Например, граничное условие

в котором по сделанному выше предположению коэффициенты не зависят от преобразуется в граничное условие

Преобразованные данные первой группы, т. е. данные первой группы, в которых произведена замена

представляют полную совокупность дополнительных данных преобразованной задачи. В самом деле, вторая группа данных предполагается заданной на пределах т. е. представляет условия по переменной преобразования. Но данные по переменной преобразования не могут входить в дополнительные данные преобразованной задачи, поскольку она, по условию, не должна содержать дифференциальных операций или у.

Данные по однако, используются при вычислении разности следовательно, учитываются в преобразованном уравнении. Конкретное вычисление разности будет произведено в следующих параграфах применительно к различным формам данных по переменной преобразования.

Предположение 5° исключает практически важный случай характерный для уравнений параболического типа, когда переменная играет роль времени. Рассмотрим этот случай отдельно, предположив, что:

5°. Уравнение задачи имеет вид

где дифференциальное выражение, не содержащее ни производных по ни зависящих от коэффициентов.

Подвергнув уравнение (21) интегральному преобразованию с ядром в пределах получим

Весовая функция принята равной единице, а

Проинтегрировав по частям, получим

Преобразованное уравнение не будет содержать интегральных членов, если

где - число, откуда

Продифференцировав уравнение (23) по легко привести его к виду (16):

Уравнение (22) при условии (23) преобразуется к виду