Глава XXIV. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями гиперболического и параболического типов

Рассмотрим уравнение

где постоянные. При оно представляет телеграфное уравнение. С его одномерным аналогом мы уже имели дело в При оно переходит в волновое уравнение при в уравнение теплопроводности и диффузии, при — в

уравнение диффузии для среды, в которой происходят химические или цепные реакции.

Руководствуясь методом разделения переменных, будем искать решения уравнения (1), имеющие вид

где и функция только пространственных координат, функция только времени. Подставив выражение (2) в уравнение (1), получим

Так как левая часть этого уравнения не зависит от а правая — от координат точки х, то должно быть

где некоторое число.

Уравнение эллиптического типа (3) называют уравнением Гельмгольца. Оно играет важную роль в математической физике ввиду своей простоты и большого значения приводящих к нему проблем (волновые процессы, теплопроводность, диффузия и др.).

Из формулы (2) следует, что уравнение Гельмгольца непосредственно определяет меняющуюся от точки к точке интенсивность процессов, происходящих во всех точках изучаемой области по одному и тому же временному закону. В частном случае, когда функция постоянна, оно определяет статическое состояние. Суперпозицией решений вида (2) можно охватить практически любые пространственно-временные зависимости.

Возможность построить любую временную зависимость (удовлетворяющую лишь некоторым общим требованиям) путем суперпозиции решений вида (2) сохранится, если вместо произвольных функций рассматривать только функции, образующие в совокупности полную систему. Поэтому, без ограничения общности, вместо подстановки (2) можно рассматривать подстановку, соответствующую гармоническим колебаниям с меняющейся от точки к точке амплитудой и фазой. В этом случае, в силу теоремы Фурье, произвольная пространственно-временная зависимость может быть получена путем наложения колебаний разных частот.

Гармонические колебания удобно описывать с помощью комплексных функций вида

или

где — круговая частота колебаний, комплексная функция координат точки х. Вещественная часть выражений (5) и (6)

определяет в каждой точке х одно и то же гармоническое колебание

с амплитудой и фазой являющейся корнем уравнений

Символы означают, что берется соответственно вещественная или мнимая часть стоящей за ними функции. Знак минус или плюс перед и в выражении для выбирается в зависимости от того, используется ли выражение (5) или (6). Подставив выражение (5) в выражение (I), после сокращения на множитель придем к уравнению Гельмгольца (3) с параметром имеющим, в общем случае, комплексное значение:

При подстановке выражения (6) мы придем к уравнению Гельмгольца, комплексно сопряженному уравнению, полученному при подстановке (5). Его решения и и решения, полученные в первом случае, будут комплексно сопряжены. Однако вещественная функция являющаяся решением исходного уравнения (1), в обоих случаях будет одной и той же, поскольку вещественные части комплексно-сопряженных чисел равны. Поэтому обе подстановки (5) и (6) эквивалентны, вследствие чего можно пользоваться только одной из них. Мы будем применять подстановку (5).

Наряду с однородным уравнением (1), мы будем также рассматривать неоднородное уравнение Гельмгольца:

Функции как мы увидим в § 4 гл. XXVII, можно приписать смысл плотности распределения источников волн.

Теория уравнения Гельмгольца во многом напоминает теорию уравнений Лапласа и Пуассона. В частности, для уравнения Гельмгольца также характерна постановка граничных задач: Дирихле, Неймана и смешанной. Эти задачи могут быть внешними или внутренними. Формулировка внутренних задач совпадает с данной в § 2 гл. XIX, в формулировку внешних задач оказывается необходимым ввести дополнительное условие, относящееся к поведению решения в бесконечно удаленной точке. Это условие мы рассмотрим ниже.

Как и при изучении уравнений Лапласа и Пуассона, нас будут интересовать регулярные решения граничных задач. Используя интегральные формулы мы, не делая особых оговорок, будем также предполагать непрерывность первых производных решений в изучаемой области вплоть до ее границы.

Кроме граничных задач, для уравнения Гельмгольца возникает и совершенно новый тип задач на определение собственных колебаний. С этим типом задач мы встретимся уже в следующем параграфе.