§ 3. Мультиполи

Вернемся к разложению ньютоновского потенциала в ряд (8). В силу соотношений (9), первый член ряда (8) (потенциал нулевого порядка) равен

Рис. 31

Это выражение формально совпадает с потенциалом точечного заряда расположенного в точке Оказывается, и следующие члены ряда (8) можно рассматривать как потенциалы некоторых точечных объектов.

Рассмотрим два точечных заряда — расположенных соответственно в точках (рис. 31). Потенциал поля, созданного этой парой зарядов в точке х, равен

где длины отрезков и Считая, что длина отрезка меньше разложим функцию в ряд вида (3), что даст

где - угол между отрезками

Перемещая точку с зарядом вдоль отрезка будем приближать ее к точке с зарядом — одновременно увеличивая абсолютную величину зарядов так, чтобы произведение

оставалось неизменным. При этом, как легко видеть, все члены в разложении (11), кроме первого, будут стремиться к нулю.

В пределе получим

В силу соотношения (7), можем также записать

где обозначает дифференцирование по направлению отрезка

Точечный объект, получающийся в результате рассмотренного процесса сближения точек и называют диполем. Более точно, под диполем понимают особую точку поля, характеризуемого потенциалом (13) или (14). Потенциал диполя убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, как и потенциал первого порядка в разложении (8).

Рис. 32

Величину входящую в выражения (13) и (14), называют моментом диполя, а направление отрезка отсчитываемое от отрицательного заряда к положительному, называют осью диполя.

Сконструируем теперь точечный объект, потенциал которого убывал бы обратно пропорционально т. е. так же, как и потенциал второго порядка в разложении (8).

Для этого в произвольной точке поместим диполь с моментом и осью, ориентированной вдоль направления а в точке поместим такой же диполь, но с осью, ориентированной вдоль направления (рис. 32). В силу формулы (14), потенциал поля этой системы в точке х равен

Разложим функцию в ряд вида (5) и, приняв во внимание, что в рассматриваемом случае расстояние равно длине отрезка которую мы обозначим через получим

где обозначает дифференцирование по направлению отрезка

Сохраняя направление отрезка неизменным, будем приближать точку к точке одновременно увеличивая величину момента так, чтобы произведение

сохраняло постоянное значение. При этом все члены ряда (15), кроме первого, будут стремиться к нулю, вследствие чего в пределе получим

Точечный объект, получаемый рассматриваемым предельным переходом, получил название квадруполя. Величину называют моментом квадруполя, а направления его осями. Потенциал квадруполя при возрастании убывает, как и потенциал третьего порядка в разложении (8), обратно пропорционально

Сближая два квадруполя можно построить октаполь — точечный источник поля, характеризуемый потенциалом

Продолжая этот процесс, вообще придем к мультиполю порядка или -полю — точечному источнику поля, характеризуемому потенциалом

где обозначает дифференцирование по направлению Направления называют осями мулыпиполя, а величину его моментом.

По мере повышения порядка мультиполя для его характеристики требуется все большее число параметров. «Мультиполь нулевого порядка» (точечный заряд) полностью определяется одним алгебраическим числом — величиной заряда. Диполь характеризуется тремя параметрами: дипольным моментом и двумя величинами, определяющими направление его оси. Мультиполь порядка характеризуется параметрами: мультипольным моментом параметрами, определяющими направление его осей направлений дифференцирования в формуле (17)).

В частном случае все оси мультиполя могут совпадать, имея некоторое одинаковое направление Такой мультиполь называют осевым. Его потенциал

Приняв во внимание соотношение (7), потенциал осевого мультиполя можно представить в виде

где — угол между осью мультиполя и направлением от мультиполя к точке х.

ЗАДАЧИ

(см. скан)