Глава XXXIV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 1. Колебания тяжелой нити
В качестве первого примера применения конечных интегральных преобразований рассмотрим задачу Даниила Бернулли о колебании тяжелой нити.
Дифференциальное уравнение малых колебаний однородной нерастяжимой тяжелой нити, подвешенной за верхний конец, имеет вид (гл. XIV, § 2):
где 
линейная плотность нити, 
удельная поперечная нагрузка нити, 
отклонение нити от положения равновесия. Ось х предполагается направленной вдоль нити вверх. Выбрав начало координат в точке, совпадающей с положением равновесия нижнего конца нити, граничное условие можно записать в виде:
где 
длина нити.
Начальное условие в общем случае имеет вид
где 
известные функции.
Поставим целью найти интегральное преобразование, позволяющее исключить дифференциальные операции по х. Положим
Для этого выражения:
Ядро преобразования является решением граничной задачи:
С помощью подстановки
уравнение (4) приведем к уравнению Бесселя нулевого порядка
Его решениями, ограниченными при 
являются функции Бесселя 
Следовательно, функции 
где положено 
представят ограниченные при 
решения уравнения (4). Чтобы удовлетворить второму из граничных условий (5), положим:
Корни 
этого уравнения и определят набор собственных чисел задачи (4)-(5).
Ядро преобразования, нормированное в соответствии с (37) предыдущей главы,
где
Для вычисления 
воспользуемся формулой (38) гл. XIII, согласно которой
Положив здесь 
получим:
Осуществив интегральное преобразование с ядром (8) и интервалом интегрирования 
и приняв во внимание, что 
преобразуем задачу 
к виду
где
Решение задачи 
при данном значении у обозначим через 
При этом решение 
задачи (1)-(3) можем записать в виде ряда
Читатель найдет для себя поучительным вычислить выражения для в различных частных случаях.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
