§ 10. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя

Пусть произвольная фиксированная точка двойного слоя, расположенного на поверхности Ляпунова его плотность в точке Рассмотрим разность

когда точка х совпадает с точкой Предположим, что плотность слоя непрерывна. Тогда интеграл в правой части заведомо непрерывен. Действительно, пусть некоторая принадлежащая окрестность точки При этом

где наибольшее абсолютное значение разности на Как мы видели в § 8, интеграл в правой части этого неравенства ограничен. Поэтому, в силу предположения о непрерывности функции каково бы ни было число окрестность всегда можно выбрать настолько малой, чтобы было

Поскольку на границах окрестности функция непрерывна, то рассматриваемый интеграл равномерно сходится в точке а поэтому непрерывен в ней. Следовательно, разрывы, которые могут испытывать интегралы в левой части равенства (27) при пересечении точкой х слоя, должны быть одинаковы. Приняв во внимание формулу Гаусса (45), придем к выводу, что потенциал двойного слоя при приближении к произвольной точке слоя

извне или изнутри соответственно стремится к значениям

где

— непрерывная на функция, которую будем называть прямым значением потенциала двойного слоя.

Обратим внимание на формальное сходство формул (50) и (38). Исследование поведения производных потенциала двойного слоя на поверхностях Ляпунова требует значительного усложнения всех рассуждений и выкладок. Поэтому ограничимся замечанием, что при известных допущениях о гладкости функции можно показать, что при пересечении поверхности Ляпунова на которой расположен двойной слой, нормальные производные потенциала двойного слоя остаются непрерывными, тогда как тангенциальные производные испытывают разрыв. Величина этого разрыва такова, что внешняя тангенциальная производная на меньше, а внутренняя — на эту же величину больше прямого значения касательной производной в точке

ЗАДАЧА (ПРИМЕР ЛЯПУНОВА)

(см. скан)