§ 4. Примеры на приложение метода Римана

Пример 1. Найти решение уравнения

удовлетворяющее условиям

С помощью замены переменных

Уравнение (24) приводится к каноническому виду:

Прямая в новых переменных будет иметь вид равнобочной гиперболы (рис. 10)

Далее из соотношений

ясно что

Рис. 10

Следовательно, в силу условий (25), имеем

а также

Полагая в формуле Римана получим

Обратимся теперь к разысканию функции Римана Согласно общей теории, она должна удовлетворять сопряженному уравнению

и следующим условиям на характеристиках:

Нетрудно убедиться, что функция

удовлетворяет как уравнению (32), так и обоим условиям (33), следовательно, это и есть искомая функция Римана. Подставляя (29), (30) и (34) в формулу

(31) и принимая во внимание, что

получим

Возвращаясь теперь к старым переменным х и у, получим решение задачи Коши

Пример 2. Найти решение уравнения

удовлетворяющее условиям

Чтобы решить эту задачу по методу Римана, приведем уравнение (35) к каноническому виду, для чего составим уравнение характеристик

Это уравнение допускает два различных интеграла

и, следовательно, надо ввести новые переменные по формулам

Присоединим к этим равенствам еще одну зависимость

тогда уравнение (35) преобразуется к следующему каноническому виду:

Обратимся теперь к условиям (36) и формулам (37). Из них видно, что за кривую (рис. 11) в методе Римана следует взять биссектрису

Согласно тому же методу для решения поставленной задачи надо найти такое частное решение сопряженного уравнения

которое удовлетворяло бы следующим условиям на характеристиках

Рис. 11

Будем искать решение уравнения (41) в виде

где

Тогда для получим следующее уравнение:

Нетрудно видеть, что это уравнение есть частный случай гипергеометрического уравнения Гаусса

при

Уравнение Гаусса допускает частное решение в виде гипергеометрического

абсолютно сходящегося при Отсюда ясно, что, взяв

мы удовлетворим уравнению (41) и условиям (42). Следовательно, функция

и есть искомая функция Римана.

Обращаясь теперь к нашей задаче нахождения решения уравнения (35) при условиях (36), возьмем формулу Римана (23) и положим в ней

Тогда мы получим

где функция определяется равенством (49), или, принимая во внимание (40),

Вычислим производные, входящие в формулу (50). Из формул

ясно, что

Следовательно, в силу условий (36), имеем

Дифференцируя (38) по и полагая затем получим

Отсюда, в силу (51), имеем

Далее из формул

вытекает, что

Чтобы воспользоваться формулой (50), надо еще вычислить значение функции на биссектрисе и в точках Нетрудно видеть, что

Отсюда также легко получаем

Принимая теперь во внимание, что

найдем из формул (50), (52) — (55)

Возвращаясь теперь к старым переменным х и у и опустив значок у этих букв, получим решение задачи Коши для уравнения