§ 2. Уравнение колебаний мембраны

Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую пленку.

Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости и занимает некоторую область ограниченную замкнутой кривой Далее предположим, что мембрана находится под действием равномерного натяжения приложенного к краям мембраны. Это означает, что если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы, действующая на элемент линии, будет равна

Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости параллельно оси Тогда смещение и точки мембраны будет функцией от

Рассматривая далее только малые колебания мембраны, будем считать, что функция и а также ее частные производные по х и у малы, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами.

Выделим произвольный участок мембраны, ограниченный в положении равновесия кривой Когда мембрана будет выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформируется в участок о поверхности мембраны, ограниченный пространственной кривой Площадь участка а в момент времени равна

Таким образом, при наших предположениях можно пренебречь изменением площади произвольно взятого участка мембраны в процессе колебаний и считать, что любой участок о мембраны будет находиться под действием первоначального натяжения

Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны. Рассмотрим произвольный участок мембраны. Со стороны остальной части мембраны на этот участок действует направленное по нормали к контуру V равномерно распределенное натяжение лежащее в касательной плоскости к поверхности мембраны. Найдем проекцию на ось сил натяжения, приложенных к кривой ограничивающей участок о мембраны. Обозначим через элемент дуги кривой На этот элемент действует натяжение, равное по величине Косинус угла, образованного вектором натяжения с осью очевидно, равен, в силу наших предложи ложении, где — направление внешней нормали к кривои I, ограничивающей участок а мембраны в положении равновесия

(рис. 2). Отсюда следует, что проекция на ось сил натяжения, приложенных к элементу контура равна

и, стало быть, проекция на ось сил натяжения, приложенных ко всему контуру равна

Рис. 2

Так как при малых колебаниях мембраны можно считать то мы можем в интеграле (10) путь интегрирования заменить на Тогда, применяя формулу Грина, получим

Предположим далее, что на мембрану параллельно оси действует внешняя сила рассчитанная на единицу площади. Тогда проекция на ось внешней силы, действующей на участок а мембраны, будет равна

Силы (11) и (12) должны в любой момент времени уравновешиваться силами инерции участка а мембраны

где поверхностная плотность мембраны. Таким образом, мы получаем равенство

Отсюда в силу произвольности площадки а следует, что

Это есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны.

В случае однородной мембраны уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде

где

Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х, то из (14) получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны

Как и при рассмотрении колебаний струны, одного уравнения (13) недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно задать смещение и скорость ее точек в начальный момент времени:

Далее, так как на контуре мембрана закреплена, то должно быть

при любом