§ 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом

Решим в качестве примера следующую задачу. Упругий цилиндрический стержень, имеющий в нерастянутом (естественном) состоянии длину закрепляется в конце и затем растягивается за конец до длины после этого конец отпускается, вследствие чего в стержне образуются продольные колебания. Требуется определить скорость колебания произвольного сечения возмущенного стержня Для решения поставленной задачи надо найти решение уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям (9) и начальным условиям (7). Определим функции и входящие в начальные условия (7), считая, что в начальный момент времени смещение сечения с абсциссой х пропорционально этой абсциссе. Положим

где множитель пропорциональности, который легко определяется, если принять во внимание то обстоятельство, что в начальный момент времени смещение на конце стержня равно т. е.

или

Кроме того, так как скорости всех промежуточных сечений стержня в начальный момент времени равны нулю, то

Итак, начальные условия имеют вид (12).

Мы знаем, что общее решение уравнения (5) имеет вид

Определим функции так, чтобы оно удовлетворяло граничным условиям (9) и начальным условиям (11) и (12). Из первого граничного условия (9) следует, что

или

вследствие чего формула (13) принимает вид

Дифференцируя это равенство по х и полагая затем приходим, в силу второго из граничных условий (9), к следующему результату:

или, обозначая переменный аргумент через получим равенство

с помощью которого легко найти выражение функции для всех значений

В самом деле, в силу начальных условий и (12) имеем

Дифференцируя равенство (16) по х и решая полученное уравнение совместно с уравнением (17), найдем следующее выражение Для функции

справедливое для всех значений лежащих в интервале

Тогда из формулы (15) следует, что

для всех значений удовлетворяющих неравенству

Теперь остается заметить, что в силу равенства (15) функция имеет период и тогда из формул ясно, что функция определяется при всех значениях

Воспользуемся найденными результатами, чтобы представить себе картину распространения волн в возмущенном стержне. Обозначим через скорость поперечного сечения стержня с абсциссой эта скорость находится на основании формулы (14), в силу которой

С помощью этой формулы нетрудно разобраться, какие волны подходят в определенные моменты времени к сечению с абсциссой В самом деле, так как эта абсцисса лежит внутри интервала то, начиная с момента до момента времени оба аргумента функций, входящих в правую часть формулы (22), не будут выходить за пределы интервала Отсюда, в силу (18) и (22), вытекает, что

другими словами, в течение времени считая от момента начала колебаний, сечение остается в покое. Оно начнет колебаться с момента , когда к нему подойдет обратная волна, вышедшая в начальный момент времени из возмущенного конца

Определим скорость сечения Когда время изменяется от момента момента аргумент функции изменяется в интервале а аргумент функции в интервале Применяя формулы (18) -(22), получим, что в течение времени

сечение будет обладать скоростью, определяемой равенством

Исследуем теперь, что будет происходить в стержне с момента времени К этому моменту к сечению подойдет прямая

волна, которая произошла от обратной волны, отразившейся в момент от закрепленного конца

Нетрудно показать, что с момента времени до момента сечение будет находиться в состоянии покоя. В самом деле, в течение указанного времени оба аргумента функций, входящих в формулу (22), лежат внутри интервала вследствие этого из формулы (20) вытекает, что

В момент времени к сечению снова подойдет обратная волна, которая получилась от прямой волны, после того как последняя отразилась от свободного конца в момент Эта волна будет оказывать свое действие на сечение до момента времени Действительно, когда изменяется в пределах от до 9 аргумент функции не выходит из интервала а аргумент функции из интервала вследствие чего

Теперь остается лишь исследовать промежуток времени от до В течение этого времени сечение снова придет в состояние покоя. Действительно, в момент времени к этому сечению подойдет прямая волна, образовавшаяся из обратной волны, после того как последняя отразилась от закрепленного конца в момент времени Действие этой волны на сечение скажется следующим образом. Так как при изменяющемся в промежутке обе функции, стоящие в правой части равенства (22), имеют свои аргументы в интервале то

откуда ясно, что в течение времени сечение будет находиться в состоянии покоя.

Далее вся картина распространения волн будет повторяться, так как, по замеченному выше, функция имеет период