§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами

Введем вместо новые независимые переменные при помощи линейного преобразования

Мы предполагаем, что преобразование (4) неособенное, т. е. что определитель не равен нулю. Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным следующими формулами:

Подставив (5) в уравнение (3), получим

где

Нетрудно проверить, что формулы преобразования (7) коэффициентов при вторых производных от функции и при замене независимых переменных по формулам (4) совпадают с формулами преобразования коэффициентов квадратичной формы

если в ней произвести линейное преобразование

приводящее ее к виду

В алгебре доказывается, что всегда можно подобрать коэффициенты так, чтобы квадратичная форма (8) привелась к сумме квадратов, т. е.

или, иначе говоря, при Коэффициенты равны или нулю соответственно. Знаки коэффициентов и определяют тип уравнения (3). Преобразованное уравнение (6) принимает вид

Этот вид уравнения (3) называется его каноническим видом.

Пшожим, что все отличны от нуля, т. е. что уравнение (3) не параболического типа, и покажем, что в этом случае при помощи преобразования функции и можно освободиться от производных первого порядка. С этой целью вместо и введем новую искомую функцию по формуле

Подставив это в уравнение (11), получим, как нетрудно проверить, уравнение вида

Для уравнения эллиптического типа все или умножая, если надо, обе части уравнения на мы можем считать, что все Таким образом, сохраняя прежние обозначения, мы можем утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду

В случае гиперболического типа будем считать, что имеется независимых переменных, и положим Тогда всякое линейное уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами приводится к виду

В случае уравнения (3) с переменными коэффициентами для каждой точки области можно указать такое неособое преобразование независимых переменных, которое приводит уравнение (3) к каноническому виду в этой точке. Для каждой точки имеется, вообще говоря свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; в других точках это преобразование может не приводить уравнение к каноническому виду. Дифференциальное уравнение с числом независимых переменных больше двух (если исключить случай постоянных коэффициентов), вообще говоря, невозможно привести с помощью преобразования независимых переменных к каноническому виду даже в как угодно малой области В случае же двух независимых переменных такое преобразование независимых переменных существует при весьма общих предположениях о коэффициентах уравнения, как будет показано в следующем параграфе.