§ 3. Гармонические функции

Говорят, что в точке х функция и является гармонической (или гармонична), если в этой точке она имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет уравнению Лапласа. Говорят, что функция и является гармонической (или гармонична) в замкнутой области V, если она

1) непрерывна в этой области,

2) гармонична во всех внутренних точках области,

3) когда область V бесконечна, стремится к нулю при стремлении точки х к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области.

Отметим, что в силу этого определения регулярные решения граничных задач для уравнения Лапласа являются функциями, гармоническими в рассматриваемой области.

Установим некоторые важные свойства гармонических функций.

Теорема о максимуме и минимуме. Если функция и гармонична в области V, то она не имеет внутри этой области ни максимумов, ни минимумов, достигая своих наибольшего и наименьшего значений на ее границе.

Для доказательства предположим, что функция и в точке имеет максимум. Опишем из точки как из центра, шаровую поверхность а, лежащую целиком внутри области Радиус поверхности а можно выбрать столь малым, чтобы было

где наибольшее значение и на Далее, можно найти такое достаточно малое число чтобы для любой точки лежащей на или внутри поверхности а, было

где расстояние между точкой х и точкой . Тогда, в силу неравенства (18), функция

в точке будет превосходить свое наибольшее значение на а. Это означает, что ее максимум должен достигаться внутри поверхности а. Но в точке максимума вторые производные по координатам точки 1 не могут быть больше нуля. Между тем

Противоречие доказывает невозможность неравенства (18), откуда следует, что функция и внутри области V не может иметь максимума. Подобным же путем легко показать, что функция и не может иметь и минимума внутри Но как всякая непрерывная функция, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в области (теорема Вейерштрасса). Так как это невозможно внутри области V, то эти значения достигаются функцией и на границе области.

Отметим полезное следствие. Если функции гармоничны в области V, то выполнение на границе области одного из неравенств:

влечет за собой выполнение этого же неравенства и внутри области.

В самом деле, если функция гармоническая в области V, неположительна на границе области то она неположительна и всюду в области, так как внутри области она не может превзойти свое значение на границе. Отсюда следует требуемое утверждение в отношении неравенства Неравенство же эквивалентно двум неравенствам: По доказанному, выполнение каждого из них на границе влечет за собой их выполнение и внутри области. Отсюда следует требуемое утверждение и в отношении неравенства

Опираясь на теорему о максимуме и минимуме, докажем следующую лемму об устранимой особенности.

Пусть точка является изолированной особой точкой функции и а во всех точках некоторой окрестности !? точки х функция гармонична. Тогда либо при функция растет не медленнее, чем где расстояние между точками и 1, либо функция и имеет в точке устранимую особенность и может быть доопределена в этой точке так, чтобы она была в ней гармонична.

Выберем положительное число а настолько малым, чтобы шар целиком принадлежал окрестности В § 6, не опираясь на доказываемую лемму, мы покажем, что можно построить функцию, гармоническую в шаре и совпадающую на его поверхности с заданной непрерывной функцией. Обозначим через функцию,

гармоническую в шаре и принимающую на его поверхности те же значения, что и функция Рассмотрим функцию

Она неотрицательна в шаре и гармонична в области которая получается, если исключить из шара произвольно малую окрестность точки х. При она растет как у.

Поэтому, если функция при растет медленнее, чем у (т. е. произведение при ), то существует такое число стремящееся к нулю вместе с что

За можно, например, принять наименьшее значение выражения

при Так как функции обе гармоничны в области то, по доказанному выше следствию теоремы о максимуме и минимуме, неравенство (19) справедливо и при Закрепим точку придав тем самым левой части неравенства (19), а также функции — некоторые фиксированные значения и устремим радиус к нулю. При этом правая часть неравенства (19) будет стремиться к нулю, а так как его левая часть не зависит от , то при всех должно быть

Итак, если функция при растет медленнее, чем то при она совпадает с ограниченной функцией следовательно, ограничена при При этом, поскольку для всех то в особой точке можно положить: т. е. точка х является для функции и (1) устранимой особой точкой.

Таким образом, функция гармоническая во всех точках области, за исключением некоторого числа изолированных точек , в которых она имеет неустранимую особенность, растет при приближении к этим точкам не медленнее, чем Особых точек другого типа она не имеет. Примером функции, имеющей неустранимую особенность в точке и гармонической во всех остальных точках пространства, может служить функция

Имея ввиду, перейти к рассмотрению функций, гармонических в бесконечных областях, каждой точке пространства поставим

в соответствие точку с координатами

Преобразование, выраженное формулами (20), называют инверсией относительно шаровой поверхности радиуса а с центром в точке Точки называют гармонически сопряженными относительно указанной шаровой поверхности.

Так как отношения

имеют одинаковые значения при всех то обе гармонически сопряженные точки х и I лежат на одном луче, проведенном из точки Далее, вычислив с помощью формулы (20) расстояние точки I от начала луча, найдем, что

Отсюда следует, что геометрия рассматриваемого преобразования такова, как если бы пространство отражалось в зеркальной поверхности 2 шара радиуса а с центром в точке При этом точки, лежащие на 2, преобразуются сами в себя, а точки, лежащие вне (внутри) точки, лежащие внутри (вне) 2. В частности, бесконечно удаленная точка преобразуется в точку а точка в бесконечно удаленную точку. Легко показать, что при инверсии линии преобразуются в линии же, поверхности — в поверхности, области — в области. При этом бесконечные области преобразуются в области, содержащие начало координат, а области, содержащие начало координат — в бесконечные.

Так как свойство сопряженности двух точек взаимно, т. е. при инверсии они взаимно переходят друг в друга, то этим же свойством обладают и любые их множества. В частности, если область V при инверсии преобразуется в область то область V — преобразуется в область Области будем называть сопряженными друг с другом.

Пусть V — область, сопряженная с областью V при инверсии относительно шаровой поверхности единичного радиуса. Докажем теорему Кельвина: если функция гармонична в области V, то функция

гармонична в области

Введем сферические координаты с началом в точке При этом с точкой будет гармонически сопряжена точка где вследствие чего выражение (21) примет вид:

Предположим сначала, что область V не содержит точки Подставив функцию в уравнение Лапласа в сферических координатах [см. формулу (4)]:

и приняв во внимание, что получим

откуда

Так как функция и гармонична в области У, то это уравнение удовлетворяется тождественно, когда т. е. когда Следовательно, функция удовлетворяет уравнению Лапласа (23), когда При этом, как легко убедиться прямым дифференцированием, из существования и непрерывности производных функции в области V вытекает существование и непрерывность производных того же порядка функции в области Тем самым, в предположении, что точка не принадлежит области V, теорема доказана.

Предположим теперь, что точка принадлежит области

Эта точка является для функции особой.

Покажем, что это устранимая особая точка.

Пусть произвольная точка области V, не совпадающая с точкой , а — шар с центром в точке настолько малый, что точка лежит вне его. Тогда область не содержит точки по доказанному выше, функция гармонична в ней и, в частности, гармонична в точке Следовательно, функция гармонична во всех точках некоторой окрестности точки за исключением самой этой точки (где она не определена), и, по лемме об устранимой особенности, при она либо остается ограниченной, либо растет не медленнее, чем Однако последнее невозможно. Действительно, из соотношений (22) следует что

При функция стремится к пределу, равному ее значению в бесконечно-удаленной точке. Но так как функция и, по условию, гармонична, то этот предел равен нулю и,

следовательно, Таким образом, функция в окрестности своей особой точки ограничена, значит, ее можно доопределить так, чтобы она была гармонична во всей области Это завершает доказательство теоремы Кельвина.

Из теоремы Кельвина вытекает лемма о поведении гармонической функции на бесконечности: функция и, гармоническая в бесконечной области, удовлетворяет неравенствам:

где надлежаще выбранные постоянные.

Действительно, пусть точка, гармонически сопряженная с точкой х. Функция гармонична в точке и некоторой ее окрестности в силу теоремы Кельвина, а поэтому и ограничена там. Отсюда вытекает первое из неравенств (24) при и некотором значении где наибольшее значение функции при Далее, заметив, что из равенств (20) при следует формула

прямым дифференцированием получим

Так как отношения , а также, в окрестности функции ограничены, то существует такое число что Выбрав в качестве А наибольшее из чисел , получим все неравенства (24).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)