§ 4. Продольные колебания стержня
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины 
когда один его онец 
закреплен, а другой 
свободен. В гл. V было показано, что эта задача сводится к решению волнового уравнения
при граничных условиях
и начальных условиях
Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (25) в виде
Подставив (28) в уравнение (25), получим
откуда получаем два уравнения
Чтобы функция (28), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничным условиям (26), очевидно, нужно потребовать выполнения условий
Таким образом, мы пришли к задаче о собственных числах для уравнения (29) при граничных условиях (31). Интегрируя уравнение (29), получим
Из граничных условий (31) имеем
Считая 
(в противном случае имели бы 
находим 
откуда 
(
целое число).
Таким образом, нетривиальные решения задачи (29), (31) возможны лишь при значениях 
Собственным числам 
соответствуют собственные функции
определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (отрицательные целые значения 
новых собственных функций не дадут).
При 
общее решение уравнения (30) имеет вид
где 
произвольные постоянные. В силу (28), найдем, что функции
удовлетворяют уравнению (25) и граничным условиям (26) при любых 
Составим ряд
Для выполнения начальных условий (27) необходимо, чтобы
Предполагая что ряды (33) и (34) сходятся равномерно, можно определить коэффициенты 
умножив обе части равенств (33) и (34) на 
и проинтегрировав по 
в пределах от 
до 
Тогда, приняв во внимание, что
получим
Подставив найденные значения коэффициентов в ряд (32), мы, очевидно, получим решение нашей задачи, если ряд (32) и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по 
равномерно сходятся.
Рассматривая решение (32), видим, что колебательное движение стержня является результатом сложения простых гармонических колебаний
где
совершающихся с амплитудами 
и с частотами
Основной тон, получающийся при 
имеет период колебания
Так как амплитуда основного тона равна
то, очевидно, что в закрепленном конце стержня 
имеем узел, а в свободном конце 
пучность.
С помощью метода Фурье легко можно исследовать задачу о продольных колебаниях стержня, которая была рассмотрена в § 2 гл. V. Напомним, что поставленная там задача привелась к решению уравнения (25) при граничных условиях (26) и начальных условиях
где 
постоянная.
Применяя формулы (35) найдем, что
откуда вытекает, что относительное перемещение сечения стержня с абсциссой х выражается рядом
