§ 4. Электрические колебания в бесконечном проводе

Допустим, что мы имеем дело с настолько длинным проводом, что его можно считать простирающимся в обе стороны до бесконечности. В этом случае обе функции входящие в начальные условия должны быть известны во всем интервале и тогда формула (23) даст возможность вычислить значение функции во всякой точке провода в любой момент времени. Зная мы можем вычислить и величину напряжения так как

Исследуем ближе физический смысл формулы (25). С этой целью положим для упрощения и допустим, что в начальный момент времени электрические возмущения распространяются только на участке провода. Следовательно, функции и будут равны нулю вне этого интервала.

Рис. 13

Возьмем на проводе какую-нибудь точку с абсциссой и будем наблюдать ее в течение некоторого времени (рис. 13).

Эта точка в момент времени будет занимать положение Проведем через точку характеристики

которые пересекут ось в точках с абсциссами и Возьмем промежуток времени от до момента где

за это время точка переместится в положение а характеристика — пересечет ось в точке лежащей направо от точки вне участка начальных колебаний, что очевидно из неравенства (26). Нетрудно видеть, что за истекшее время электрические колебания еще не достигли наблюдаемой точки. В самом деле, промежуток интегрирования в формуле (23) не содержит интервала как это прямо видно из рис. 13. Вспоминая, что функции равны нулю вне интервала мы убеждаемся, что не только функции но и функция равна нулю в промежутке Отсюда ясно, на основании формулы (23), что Следовательно, в течение рассматриваемого промежутка времени величина что и подтверждает высказанное выше положение.

Возьмем теперь промежуток времени от до этом случае следовательно, характеристика пересечет ось в точке лежащей между (рис. 14). Из этого чертежа видим, что промежуток интегрирования может быть разбит на два:

Во втором из этих интервалов функция равна нулю, и, следовательно, формула (23) даст следующее равенство:

которое показывает, что за взятый нами промежуток времени к наблюдаемой точке подходят электрические колебания, и напряжение в этой точке может быть вычислено по формуле

где и определяется равенством (27).

Рис. 14

Рис. 15

Посмотрим теперь, что будет происходить в наблюдаемой точке с момента времени большего чем Так как в этом случае

то характеристика пересечет ось в точке лежащей налево от точки 0, т. е. вне участка начальных колебаний. Но нетрудно показать, что напряжение в наблюдаемой точке уже не будет равно нулю, как это имело место для момента времени Действительно, из рис. 15 видно, что промежуток целиком заключается в интервале вследствие чего формула (23) даст

откуда

Последняя формула показывает, что электрические колебания, прошедшие за время через точку оставили после себя остаточное возмущение, выражаемое формулой (28). Действительно, наличие такого остаточного действия в проводе было подтверждено опытами Физо.

В заключение заметим, что интеграл, входящий в формулу (28), при возрастании до имеет конечную величину. Отсюда следует, что если в начальный момент времени электрические возмущения охватывают лишь конечный участок бесконечного провода и внешних возмущений нет, то напряжение в бесконечном проводе с течением времени убывает до нуля.