§ 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя

В математической физике наиболее часто встречаются функции Бесселя

где — целое число.

Первые две из этих функций представляются следующими рядами:

Для них имеются подробные таблицы. Графики функций приведены на рис. 20 и 21.

Рис. 20

Рис. 21

Из формулы (23) видно, что вычисление функций сводится к вычислению соответствующих значений функций

Обратимся теперь к функции где целое число. Найдем прежде всего значения функций для чего обратимся к разложению (14); из него видно, что

Но из формулы (11) непосредственно вытекает, что

где

Таким образом,

Последняя сумма представляет собой разложение в степенной ряд, вследствие чего

Аналогично, из разложения (15) вытекает, что

Если теперь воспользоваться формулой (23), то нетрудно видеть, что

Вообще, функция Бесселя при целом выражается через элементарные функции, а именно:

где — многочлен степени относительно а многочлен степени причем Отсюда следует, что при больших значениях х имеет место асимптотическое представление функции Бесселя:

где через обозначена величина порядка

Отметим, что асимптотическая формула (29) справедлива не только при но и при всех значениях