§ 6. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля

Выше рассматривалась задача Штурма-Лиувилля для конечного интервала и уравнения, коэффициенты которого не имели особенностей. Если коэффициенты уравнения имеют особенности на концах интервала но интегралы от величин и — конечны, то результаты § 5 остаются в силе.

Если же упомянутые интегралы расходятся или интервал бесконечен — в этих случаях говорят о сингулярной задаче Штурма-Лиувилля, - то изложенная выше теория непосредственно неприменима. Распространение ее на сингулярную задачу требует выполнения предельного перехода: от конечного интервала к бесконечному или от конечного интервала, не содержащего особенностей в коэффициентах, к интервалу, на одном или обоих концах которого есть неинтегрируемые особенности. Техника выполнения обоих этих предельных переходов аналогична, как и результаты. В связи с этим для определенности рассмотрим подробно только расширение теории на бесконечный интервал где

В случае сингулярной задачи полной счетной системы собственных функций может не оказаться. Тогда место разложения произвольной функции в бесконечный ряд по собственным функциям задачи занимает представление этой функции в форме интеграла. Это приводит к интегральным соотношениям, таким, как преобразования Фурье и Лапласа, оказавшимся эффективными при решении многих проблем техники и теоретической физики.

Рассмотрим уравнение

в интервале Как и ранее, примем, что функции вещественны и непрерывны, а

Обозначим символом класс функций с квадратом модуля, интегрируемым на интервале

Укажем без доказательства важное свойство оператора если все решения уравнения принадлежат классу при некотором одном комплексном значении то они принадлежат этому классу и при всех комплексных значениях

Пусть решения уравнения удовлетворяющие начальным условиям:

Эти решения линейно независимы. В самом деле, их определитель Вронского при удовлетворяет соотношению

Но, в силу тождества Лагранжа (5), это равенство сохраняется при всех х.

Из линейной независимости следует, что с точностью до множителя любое решение уравнения отличное от можно представить в виде

где комплексное число.

Пусть (символ означает «мнимая часть»). Рассмотрим многообразие решений удовлетворяющих вещественному граничному условию

Условие (41) накладывает на определенные ограничения, так что допустимые значения будут функцией комплексного переменного и вещественных параметров

Покажем; что при фиксированных значения лежат на некоторой окружности в комплексной плоскости. Переписав (41) в форме

видим, что отношение — вещественно, а поэтому определитель Вронского

Обратно, если выполняется (43), то отношение вещественно. Следовательно, условие (43) необходимо и достаточно, чтобы функция при некотором удовлетворяла условию вида (41). Подставив (40) в (43), получим

где

При вычислении учтено равенство (39).

Уравнение (44) на плоскости комплексного переменного есть уравнение окружности с центром в точке и радиусом Подставив (40) в (41), получим уравнение этой окружности в форме:

явно выражающей зависимость значения от значения При фиксированных и изменении от до точка как легко видеть, обходит рассматриваемую окружность. Для ее обозначения также будем пользоваться введенным выше символом подразумевая, что когда речь идет об окружности то значения фиксированы, а когда о функции то это — функция комплексного переменного I и вещественных параметров Каждой паре значений соответствует своя окружность

Пусть фиксировано, а параметр возрастает. Установим, как при этом меняется окружность Из (44) следует, что в точках круга имеющего окружность своей границей,

Равенству соответствует сама окружность В силу теоремы Грина (6),

Здесь учтено, что ввиду функции и вещественны при а поэтому определитель Ввиду (37), (39) и (40) (символ означает «мнимая часть»)

Заметив, что и используя полученные соотношения, преобразуем неравенство (47) к виду

Знак равенства, как и выше, соответствует положению точки на окружности следовательно, вещественному граничному условию (41). В этом случае

Далее из (49) и (45) найдем, что

Фиксируем число Пусть при некотором число лежит на окружности так что в (51) имеет место знак равенства. Так как левая часть (51) — монотонно растущая функция 6, то при неравенство (51) не будет соблюдено, т. е. число лежащее на окружности будет лежать вне окружности Отсюда следует, что окружность при лежит внутри окружности Таким образом, с ростом окружность сжимается и возможны два варианта:

а) окружности с ростом стягиваются к предельной окружности с радиусом Через с здесь обозначен параметр, при изменении которого в некоторых пределах и фиксированном I величина принимает все значения, принадлежащие предельной окружности.

Если имеет место случай предельной окружности, то все решения уравнения при принадлежат классу Действительно, любое число лежащее на окружности лежит внутри любого из кругов с границей и, следовательно, для при любом неравенство (51) выполняется строго. Это значит, что интеграл в левой части (51) сходится, т. е.

Из (53) вытекает, что и а поэтому и Так как два линейно независимых решения уравнения принадлежат классу то и все его решения принадлежат этому классу;

б) окружности стягиваются к предельной точке так что Из (53) тогда следует, что решение при не принадлежит классу а ввиду того, что этот вывод не зависит от выбора числа а в начальном условии (37), то и любое решение уравнения удовлетворяющее вещественным начальным условиям, не принадлежит этому классу. Из (51), однако, следует, что при существует линейно независимое от решение класса именно:

Двух линейно независимых решений, принадлежащих классу существовать не может, так как тогда и все решения уравнения принадлежали бы что противоречит Итак, тогда, когда имеет место случай предельной точки, уравнение при имеет одно и только одно линейно независимое решение класса

Так как, по сказанному выше, принадлежность всех решений уравнения классу есть свойство оператора не зависящее от значения то и появление при предельной точки или предельной окружности — также свойство только оператора Тем самым возможны два класса сингулярных задач Штурма — Лиувилля, соответствующих случаям предельной окружности и предельной точки. Примеры (см., например, § 10) показывают, что эти классы не пусты.