Глава XII. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ

§ 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня

Рассмотрим однородный круговой цилиндрический стержень длины Допустим, что под влиянием какой-нибудь причины этот стержень совершает так называемые крутильные колебания, т. е.

такие колебания, при которых его поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются без какого-либо искажения одно относительно другого, вращаясь вокруг оси стержня. В случае кругового цилиндрического стержня при кручении поперечные сечения не смещаются параллельно его оси.

Будем рассматривать малые колебания. Докажем, что в этом случае угол поворота какого-нибудь сечения стержня будет удовлетворять волновому уравнению. С этой целью поместим начало координат в один из концов стержня, а ось направим по его оси.

Пусть и два поперечных сечения, расстояние между которыми равно

Рис. 18

Для того чтобы сечение повернулось относительно сечения тхпх на угол необходимо приложить к нему некоторый момент Его называют закручивающим моментом.

Для вычисления этого момента поступим следующм образом. Выделим из стержня бесконечно тонкий цилиндр с поперечным сечением (рис. 18); допустим, что под действием закручивающего момента, приложенного к этому сечению, конец А прямолинейной образующей переместится на весьма малое расстояние

Обозначим через величину напряжения, вызванного сдвигом образующей в положение Применяя закон Гука, найдем, что

где угол постоянная величина, называемая модулем сдвига.

Отсюда вытекает, что усилие, приходящееся на поперечное сечение выражается произведением

Далее, в силу весьма малых размеров треугольника можно считать, что

а из сравнения формул (1) и (3) видно, что

следовательно,

Если обозначить через элементарный закручивающий момент, приложенный к сечению то получим

Чтобы найти полный закручивающий момент надо проинтегрировать это равенство по всей площади сечения тогда получим

Но так как интеграл

есть полярный момент инерции сечения то, обозначив его через найдем окончательное выражение искомого закручивающего момента:

Выведем теперь дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня.

С этой целью рассмотрим часть стержня, заключенную между двумя поперечными сечениями и тхпх с абсциссами и Закручивающий момент в сечении с абсциссой равен момент в сечении с абсциссой равен Для получения уравнения крутильных колебаний надо приравнять результирующии момент произведению углового ускорения на момент инерции элемента тптхпх относительно оси стержня. Таким образом, получим

где через К обозначен момент инерции единицы длины стержня. Отсюда, после сокращения на получим

Это и есть дифференциальное уравнение крутильных колебаний кругового цилиндрического стержня.

Если мы имеем дело не с круговым цилиндрическим стержнем, то при кручении поперечные сечения стержня не остаются плоскими, а искривляются. На основании теории кручения стержней, закручивающий момент определяется по формуле

где С — жесткость при кручении.

Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня имеет тот же вид (5), в котором заменено на С.