§ 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма
Докажем, что полиномы Лежандра различных порядков ортогональны в интервале 
Напишем уравнение (1) для двух различных полиномов Лежандра.
Умножая первое из этих уравнений на 
второе — на 
вычитая и интегрируя по промежутку 
получим
Итак,
или
т. е. полиномы Лежандра ортогональны в интервале 
Вычислим квадрат нормы полиномов Лежандра
Пользуясь формулой (5), перепишем интеграл в виде
Интегрируя 
раз по частям и принимая во внимание, что каждый раз внеинтегральный член равен нулю, получим
или
Известно, что
и предыдущая формула окончательно дает:
Таким образом, мы имеем
Пусть произвольная функция 
представима в виде ряда по полиномам Лежандра
Коэффициенты 
этого разложения могут быть формально определены на основании свойства ортогональности полиномов Лежандра. Действительно, умножая ряд (7) на 
и интегрируя по отрезку 
получим, в силу (6), что
Докажем теперь, что система ортогональных полиномов Лежандра (5) в интервале 
является замкнутой системой. Действительно, в систему (5) входят многочлены всех степеней. Поэтому любсй многочлен 
степени 
можно представить в виде линейной комбинации полиномов Лежандра порядков от нуля, до 
С другой стороны, в силу теоремы Вейерштрасса, любую непрерывную функцию в отрезке 
можно равномерно приблизить многочленом со сколь угодно большой точностью.
Следовательно, для любого 
можно найти такую линейную комбинацию полиномов Лежандра, чтобы было
из чего непосредственно следует
Если вместо коэффициентов 
мы возьмем коэффициенты Фурье функции 
относительно системы полиномов Лежандра (5), то написанное неравенство будет тем более удовлетворено. В силу произвольной малости числа 
мы можем утверждать, что средняя квадратичная погрешность при представлении функции отрезком ее ряда Фурье по полиномам Лежандра стремится к нулю, т. е. полиномы Лежандра действительно образуют замкнутую систему, а значит, и полную систему. Отсюда легко заключаем, что уравнение (1) не имеет решений ограниченных в особых точках 
отличных от полиномов Лежандра. Действительно, если бы такое решение существовало, то оно было бы ортогонально ко всем полиномам Лежандра 
что невозможно, так как система 
полная.
