§ 5. Поток тепла в шаре

Задача о распространении тепла в шаре приводит к преобразованию, в котором ядром служат сферические функции.

Рассмотрим однородный шар радиуса а, поверхность которого поддерживается при заданной температуре Изучение процесса установления тепла в шаре приводит нас в сферических координатах к следующей задаче. Найти решение

уравнения теплопроводности

при начальном условии

и граничном условии

Исключая дифференцирование по координате найдем, что ядро К преобразования должно удовлетворять уравнению

и условию периодичности

Как и в § 3 - 4, положим:

где целые положительные числа.

Осуществив прямое преобразование, приведем задачу (44) — (46) к виду:

где интегральные преобразования в интервале с ядром функций

Имея в виду исключить дифференциальные операции по рассмотрим дифференциальное выражение

для которого

Ядро преобразования позволяющего исключить дифференциальные операции по должно удовлетворять уравнению Лежандра:

для которого точки являются особыми. Как мы знаем из гл. XXI, требование ограниченности решения уравнения Лежандра в особых точках удовлетворяется при

При этом ограниченными в интервале решениями этого уравнения являются присоединенные полиномы Лежандра С помощью формулы (20) гл. XXI найдем, что

Осуществив в интервале преобразование с ядром приведем задачу к виду:

где функции, полученные в результате последовательного применения интегральных преобразований по к функциям

Исключим, наконец, дифференциальные операции по С помощью подстановки

задача приведется к виду:

Для выражения, содержащего дифференциальные операции по получим:

Введем функцию удовлетворяющую уравнению Бесселя с полуцелым индексом:

и граничным условиям:

Ограниченным при решением этого уравнения является функция Бесселя Используя граничное условие при придем к уравнению

корни которого, перенумерованные в порядке их возрастания, определят собственные числа задачи (56) — (57).

Ядро преобразования равно где

Применив в интервале интегральное преобразование с найденным ядром, приведем задачу к виду:

где у — соответствующее интегральное преобразование функции

Решив задачу найдем, что

Осуществляя преобразования, обратные проделанным выше, последовательно получим:

Последний из этих рядов и является решением рассматриваемой задачи (44)-(46).