§ 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн

1. В гидродинамике жидкость или газ рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Поэтому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться объем достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с молекулярными расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка.

Пусть жидкость движется со скоростью проекции которой на оси координат обозначим

Подчеркнем, что есть скорость жидкости в каждой данной точке пространства в момент времени т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвигающимся со временем в пространстве; то же самое относится к термодинамическим величинам

Если поле вектора скорости известно, то траектории отдельных частиц жидкости будут определяться уравнениями

Отсюда легко можно найти ускорение частицы жидкости:

В каждый момент времени и в каждой точке жидкость находится в некотором состоянии термодинамического равновесия, определяемого давлением плотностью температурой энтропией и внутренней энергией Из термодинамики известно, что для каждой данной среды независимы только два из параметров и Величины к можно рассматривать как функции от

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем жидкости ограниченный поверхностью Если внутри объема V нет источников и стоков, то изменение в единицу времени массы жидкости, заключенной внутри V, равно потоку жидкосги через поверхность

где проекция на внешнюю нормаль к поверхности Преобразуя правую часть по формуле Остроградского и дифференцируя по под знаком интеграла в левой части, получим:

или

где

Так как последнее равенство справедливо для любого объема внутри жидкости, то отсюда следует, что

уравнение называется уравнением неразрывности.

Перейдем теперь к выводу уравнений движения идеальной жидкости.

Под идеальной жидкостью будем понимать такую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли среда в состоянии равновесия или движения приводятся к давлению, так что если выделить в этой жидкости некоторый объем V, ограниченный поверхностью то действие на него остальной части жидкости приводится к силе, направленной в каждой точке поверхности по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы, отнесенную на единицу площади (давление), через

Таким образом, равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности равна

где единичный вектор внешней нормали к поверхности На основании формулы Остроградского имеем

Пусть далее на жидкость действует внешняя сила рассчитанная на единицу массы, так что равнодействующая этих сил, приложенных к объему V, равна

Наконец, равнодействующая сил инерции, действующих на жидкость в объеме V, будет

где — вектор ускорения частицы Жидкости. Здесь производная определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Это подчеркивается обозначением вместо

Применяя принцип Даламбера, получим

Отсюда в силу произвольности объема V следует, что

или, в силу (19), в скалярной форме

Это есть уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера.

Итак, для пяти неизвестных функций мы имеем всего четыре уравнения (20) и Чтобы получить еще одно уравнение, будем считать, что движение жидкости происходит адиабатически. При адиабатическом движении энтропия каждой частицы жидкости остается постоянной (хотя может меняться от частицы к частице) при перемещении последней в пространстве т. е. где полная производная по времени означает, как и в (21), изменение энтропии определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную можно записать в виде

Это есть уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости В частном случае может оказаться, что в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках жидкости, тогда она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этом случае уравнение адиабатичности можно писать просто

в виде

Такое движение жидкости называют изэнтропическим. При этом

Таким образом, мы имеем пять уравнений: уравнение неразрывности (20), три уравнения движения идеальной жидкости и уравнение (22). Эти уравнения содержат как раз пять неизвестных функций:

2. Колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости или газе называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения.

В силу малости колебаний в звуковой волне скорость в ней мала, так что в уравнениях Эйлера можно пренебречь членами По той же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Положим

где - постоянные равновесные плотность и давление жидкости, а их изменения в звуксвой волне называют звуковым давлением.

Уравнение непрерывности (20) при подстановке в него (23) и пренебрежении малыми величинами второго порядка надо этом считать малыми величинами первого порядка примет вид

или, полагая

получим

Уравнения Эйлера считая, что внешние силы отсутствуют, в том же приближении сводятся к уравнениям

или, в векторной форме,

Уравнения (24) и (25) содержат неизвестные функции Для исключения одной из них обратимся к уравнению (22), которое в том же приближении можно записать в виде

Подставляя (26) в уравнение (25), получим

где положено так как для всех жидкостей и газов, встречающихся в природе, при постоянной энтропии, давление возрастает при возрастании плотности, т. е.

Применяя к уравнению (27) операцию дивергенции и переставляя дифференцирование по с операцией дивергенции, будем иметь

где

Принимая во внимание уравнение (24), получим

Для давления и скорости также можно получить волновое уравнение вида (29).

Предположим теперь, что в начальный момент существует потенциал скоростей т. е.

Из уравнения (27) следует, что

или, в силу (30),

которое означает, что существует потенциал скоростей и в любой момент времени

Покажем, что потенциал скоростей и удовлетворяет волновому уравнению. В самом деле, дифференцируя выражение (32) два раза по получим

С другой стороны, подставляя (31) в уравнение (24), будем иметь:

Сравнивая (33) и (34), получим

Отметим, что знание потенциала скоростей и(х, достаточно для определения всего процесса движения жидкости или газа, так как

Перейдем к формулировке начальных и граничных условий. Пусть жидкость или газ занимают в пространстве объем ограниченный поверхностью 2. В начальный момент времени задано относительное изменение газа и распределение скоростей в каждой точке объема Это дает начальные условия в виде

Если граница 2 представляет собой твердую непроницаемую стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит к граничному условию