2.2. Метод функций влияния

Для ознакомления с основными идеями суперпозиции решений мы сначала исследуем сходство и различие между МГЭ и уже хорошо обоснованным методом функций влияния (или методом функций Грина) и рассмотрим в одномерной постановке задачу о потенциальном течении.

2.2.1. Одномерное потенциальное течение

На рис. 2.1 показан однородный линейный континуум длиной с единичным поперечным сечением. Границами системы являются просто две крайние точки в каждую из которых можно поместить лишь по одному «граничному элементу». В этих точках

поддерживаются нулевые значения потенциала: В некоторой точке В, имеющей координату и называемой в дальнейшем точкой приложения нагрузки, находится точечный источник интенсивности

Рис. 2.1.

Положение произвольной точки внутри тела, называемой далее точкой наблюдения (или точкой поля), задается координатой х.

Мы могли бы рассмотреть здесь такие вопросы, как течение электрического тока или теплоперенос в однородном проводнике, а также течение идеальной несжимаемой жидкости в трубе постоянного сечения. Во всех этих случаях потенциал являющийся соответственно напряжением, температурой или полным напором, будет удовлетворять уравнению Лапласа во всех внутренних точках области между отличных от В. Таким образом, в одномерном приближении

Если проводимость среды, то для интенсивности электрического тока, потока тепла или скорости потока жидкости будем иметь

Уравнениям (2.1) и (2.2) удовлетворяют также отклонение и угловой коэффициент туго натянутой невесомой нити, на которую действуют большое продольное натяжение и малая вертикальная нагрузка как показано на рис. 2.2. Решение уравнений (2.1) и (2.2) при заданных граничных условиях на концах находится элементарно [1]:

При однозначно определяется любым из соотношений (2.3а) или меняется скачком, равным по величине при переходе точки через точку В (т. е. при возрастании х от до где Такое скачкообразное изменение одной из зависимых переменных при совпадении точки приложения нагрузки и точки наблюдения присуще всем и вообще методам интегральных уравнений.

Рис. 2.2. .

Поэтому предельно важно, чтобы последующие математические манипуляции с такими величинами выполнялись при ясном понимании физического смысла, состоящего в данном случае в разделении потока от источника с интенсивностью на две части — к каждому из концов

Если в уравнения (2.3) подставить то при указанных граничных условиях для системы, изображенной на рис. 2.1 и 2.2, они будут определять «функции влияния» Так как последние линейны относительно интенсивности источника то мы можем использовать их вместе с принципом суперпозиции для решения задач такого типа, как на рис. 2.3. Здесь показана аналогичная система при тех же самых граничных условиях, но при

Рис. 2.3. .

наличии множества источников Действующих в точках

Суммирование соответствующих величин, определяемых уравнениями (2.3) для каждой из пар будет давать искомые значения всюду на отрезке В этом и состоит принцип применения функций влияния и функций Грина всех типов.

Для задачи, сходной с представленной на рис. 2.1 и 2.2, но при простейшей замене граничных условий, например на решения уравнений (2.1) и (2.2) имеют несколько более сложный вид:

К сожалению, обычная суперпозиция этих соотношений уже не позволяет получить решение задачи, аналогичной показанной на рис. 2.3, при измененных граничных условиях, а именно при условиях Однако, используя подходящие комбинации уравнений (2.3), решение, безусловно, можно получить даже для задачи со «смешанными» граничными условиями указанного выше типа.

Рис. 2.4. а — граничный элемент, соответствующий точке граничный элемент, соответствующий точке

В более общей ситуации, изображенной на рис. 2.4 и являющейся аналогом задач для областей нерегулярной формы, не так просто найти даже основные функции влияния, и поэтому построение решения посредством указанной выше техники обычно оказывается неудобным. Эффективные методы решения более сложных проблем, использующие подобные концепции, должны опираться на иной подход.