Глава 8. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИИ

8.1. Введение

При построении методов граничных элементов мы столкнулись с необходимостью решения граничных интегральных уравнений, одним из типичных представителей которых при произвольном числе пространственных переменных является уравнение (4.38), полученное для статических задач теории упругости:

где — разрывный коэффициент в произвольном узле на границе. Так как аналогичное уравнение для задачи о потенциальном течении (уравнение (3.37)) проще уравнения (8.1), мы можем использовать выписанное выше граничное интегральное уравнение в качестве более общего примера для иллюстрации и пояснения основного назначения данной главы.

В силу того что мы не в состоянии решить уравнение (8.1) аналитически, разобьем соответственно на элементов и ячеек и запишем эквивалентное матричное уравнение относительно вектора граничных смещений для узла на границе:

Суть нашей задачи состоит в вычислении интегралов вида

Выше уже рассматривались частные случаи, в которых функции на каждом элементе (или ячейке) принимались постоянными или линейно меняющимися. Обсудим теперь более сложную ситуацию, когда используется квадратичное (второго порядка) или кубическое

(третьего порядка) изменение и или в пределах дискретного элемента. Это может быть достигнуто путем использования большего числа узлов на каждом элементе, скажем и установления для каждого элемента некоторых общих соотношений между компонентами смещений в произвольной внутренней точке элемента и полным набором смещений в узлах относительно глобальных координат

Здесь типичный элемент матрицы узловых смещений; соответствующие узлы, число которых для каждого элемента равно (т. е. называются функциональными и на всем протяжении этой главы обозначаются греческими индексами. Латинскими буквами обозначаются размерности локальной (криволинейной) и глобальной (декартовой) систем координат. Таким образом, в общем случае имеем

где компоненты вектора называемые базисными функциями, выражаются через локальные (т. е. относящиеся к индивидуальному элементу) координаты, скажем Очевидно, скалярная величина может быть представлена аналогично в виде произведения вектор-строки своих узловых значений на

Здесь можно заметить, что в предыдущих главах, следующих ранней работе авторов, уравнение (8.3) было записано иначе (но в эквивалентной форме через компоненты вектора полных смещений в узлах элемента, а именно

где, например, в уравнение (6.43) входили три базисные функции соответствующие в случае треугольных элементов с тремя узлами в вершинах каждого из них.

Поскольку мы собираемся использовать нелинейные распределения по элементам, целесообразно одновременно исследовать элементы криволинейной формы. Причина их введения станет ясна, если параллельно рассмотреть описание геометрии наших элементов путем задания множества узлов (геометрических узлов), число которых равно для каждого элемента и которые характеризуются, например, матрицей координат геометрических узлов. Мы убедимся, что глобальные координаты произвольной внутренней точки элемента можно выразить через

Компоненты вектора естественно снова называть базисными функциями, которые в данном случае связывают глобальные координаты произвольной точки внутри элемента с матрицей X координат его геометрических узлов.

Если геометрические и функциональные узлы совпадают и, следовательно, системы базисных функций являются тождественными то такие элементы называются изопараметрическими (Зенкевич [1]).

Введенная выше терминология известна читателям, знакомым с методом конечных элементов; действительно, базисные функции, которые мы далее рассмотрим, общеприняты в обоих методах — и МКЭ, и МГЭ. Однако наше изложение материала несколько отличается от привычного, и мы надеемся, что оно окажется одновременно полезным и интересным даже для тех, кто уже усвоил основные идеи.