Приложение А. ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ТЕНЗОРЫ

А.1. Введение

Читатель, не знакомый с индексными обозначениями, соглашением о суммировании и элементарными законами преобразований тензоров, обнаружит, что в начальных главах перечисленные идеи почти не используются. В остальных главах этой книги встречаются выражения со многими индексами, имеющие значительно более страшный вид. Переход этот представляется неизбежным, поскольку приходится работать с выражениями, состоящими из многих компонент, которые комбинируются в соответствии с точными законами.

В этом приложении излагаются основные свойства индексных обозначений и соглашение о суммировании Эйнштейна, что позволяет обращаться с наборами величин идеально приспособленным к вычислениям на ЭВМ способом. Некоторые фундаментальные идеи, связанные с тензорной алгеброй в криволинейных координатах, приводятся в § А.6. Этот последний вопрос находится довольно далеко от того, что нам обычно требуется, однако поскольку концепция МГЭ основывается на геометрическом описании границ и внутренних ячеек, а также распределении по ним некоторых функций, то для дальнейшего продвижения на этом пути требуется анализ в криволинейных координатах, для которого тензорный аппарат оказывается удобным. Возможно, некоторые читатели найдут простоту и красоту этого представления привлекательными и будут изучать его дальше, что позволит им значительно усовершенствовать метод нашего анализа.

А.2. Индексные обозначения

Основная идея заключается в том, что все величины, которые определяются набором компонент, следует обозначать при помощи нижних (или верхних) индексов, что показывает сразу и количество компонент, и их вид. Так, например, компоненты радиуса-вектора (координаты) точки обозначаются через хчто в случае трех измерений означает набор В этом случае а в двумерном случае что соответствует компонентам Аналогично компоненты произвольного вектора и можно обозначить через что соответствует набору Заметим, что (1) индексы могут принимать любые значения из области их

определения и (2) мы больше не используем другую форму записи для обозначения того же набора компонент или

Более сложные величины можно вводить с помощью нескольких индексов, например Первая из них компактно выражает значения в точке всех девяти компонент тензора напряжений путем перебора всех комбинаций индексов Хорошо известная симметрия означает, что только шесть компонент из девяти независимы. двумерном случае, конечно, тому же обозначению соответствуют просто Эти идеи уже известны большинству ученых-прикладников благодаря матричной алгебре. Возможности этого метода можно неограниченно расширять и далее для получения удобного способа обращения с величинами типа (для трех измерений количество компонент равно и тензором упругих податливостей с количеством компонент особенно если эти обозначения используются совместно с соглашением о суммировании.

А.3. Соглашение о суммировании для индексов

Мы будем здесь предполагать (если не оговорено противное), что Рассмотрим сначала свойства (внешнего) произведения символов с индексами (например, или или Ясно, что имеется девять комбинаций произведений компонент и и

в которых порядок символов не имеет значения. Аналогично для аипк и аигм Однако часто приходится сталкиваться с другим (внутренним) произведением, в котором некоторые индексы повторяются. Примером может служить скалярное произведение где

или выражение для энергии деформации — компоненты деформации)

или произведение, обычное для системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов размером

Если в каждом таком примере предполагать суммирование по повторяющимся индексам во всей области их изменения, то можно сразу написать Неясностей не будет при условии, что в любом выражении не более двух повторяющихся индексов. Индексы суммирования называют немыми индексами, так как используемые для них символы можно заменять, поэтому

Уравнения и важны и тем, что они показывают, в каком соответствии должны находиться «свободные» индексы в каждой части выписанных выше соотношений. Более сложные выражения подчиняются тем же законам. Так, например, линейная связь между тензорами напряжений и деформаций принимает вид

а уравнение Лапласа вид

при этом максимальное сокращение записи часто достигается использованием запятой для обозначения частного дифференцирования, как это сделано выше, т. е. Заметим, что и в этих выражениях последовательность в написании не имеет значения. Если матрица не является симметричной по и то

Два символа играют важную роль при обращении с индексными величинами.

1. Дельта Кронекера (или единичный тензор)

имеет по определению следующие свойства:

Последние два выражения «сокращаются» при умножении на (т. е. при каждом умножении их ранг уменьшается на два). Скалярные величины имеют ранг 0; «векторы» — ранг 1 и т. д.; тензор имеет ранг 4. Поэтому последнее выражение в произведение тензоров напряжений и деформаций — из тензора четвертого ранга превращается в скалярную величину (энергию).

2. Тензор перестановок (тензор Леви-Чивиты)

несколько менее удобен при вычислениях, чем он появляется при вычислении определителей:

или компонент векторного произведения :

Результат является очевидным, но проверка равенства является полезным упражнением.

В большинстве учебников подразумевается суммирование по индексам, если оно не «подавлено»; например, запись означает любой из элементов не их сумму.

А.4. Декартовы тензоры и законы преобразования

Если мы временно введем ортогональную декартову систему координат которая получается из системы координат параллельным переносом (на и поворотом, и если направляющие косинусы поворота обозначить ), то имеет место закон преобразования

или

так как в случае декартовых ортогональных координат будет Заметим (для сравнения и как пример обращения с индексными величинами), что длина линейного элемента в системе записывается в виде

как и следовало ожидать.

Определим теперь декартов тензор как величину, которая преобразуется при изменении системы координат (штрихованные символы означают компоненты тензора в системе у, нештрихованные — в по следующему закону:

Заметим, что представляет собой тензор первого ранга, но ни компоненты координат» ни матрица направляющих косинусов вообще говоря, не являются тензорными величинами. Поэтому, хотя всегда можно записать компоненты вектора в виде матрицы-столбца и тензора второго ранга в виде прямоугольной матрицы, обратное утверждение не всегда верно.

В качестве упражнения полезно показать инвариантность энергии деформации при преобразовании координат:

Заметим также, что здесь

А.5. Полезные упражнения

Эти подходящие в данном случае иллюстративные примеры взяты из работы [13] в списке литературы к гл. 11.

Рассмотрим еще раз задачу о потенциальном течении жидкости в случае, когда анизотропная и неоднородная проницаемость системы имеет вид где постоянная матрица, а параметр а непрерывно меняется известным образом при изменении х. Основные уравнения записываются так:

и

Нам потребуются также функции Грина для однородного и неоднородного пространств, удовлетворяющие следующим уравнениям:

и

Если бы мы знали значение то, просто заменяя на могли бы применить стандартное уравнение (3.30) МГЭ, однако эта функция, по-видимому, никогда не будет известна в общем случае. Мы сейчас займемся изучением следствий попытки вывести решение ПМГЭ из с помощью стандартной процедуры интегрирования по частям произведения на выражение :

и если

то

поэтому

Это уравнение дает обобщенное представление ПМГЭ для случая неоднородной анизотропной области, в которой направления главных осей проницаемости постоянны.

Получение этого решения без использования индексных

обозначений оказывается весьма громоздким. Окончательное выражение показывает, что за счет дополнительного интеграла в правой части уравнения функция Грина для однородного случая может использоваться при решении анизотропной и неоднородной задачи. В указанной выше работе объясняется, как использовать этот результат, и доказывается, что такой анализ оказывается невозможным, если направления главных осей меняются от точки к точке внутри области.

В качестве второго иллюстративного примера рассмотрим вывод введенной в гл. 4 функции деформации (ядра). Поле смещений обусловленное сосредоточенной силой выражается формулой

где получаем

Замечая, что здесь перепишем в виде

Меняя индексы местами, имеем

Используя и получаем поле деформаций

А.6. Общие тензорные преобразования; контравариантность и ковариантность

Если мы хотим рассматривать более общие преобразования, как, например, использованные в гл. 8 преобразования декартовых координат в криволинейные, то, к сожалению, из правил остается совершенно неизменным только правило преобразования скаляров. Остальные правила изменяются из-за перехода к новым координатам, которые оказываются либо неортогональными, либо неоднородными по размерности, либо и теми и другими одновременно. В гл. 8 мы имели дело лишь со скалярами и со случаями геометрического изменения масштаба, но другие, более сложные преобразования лучше всего проводить при помощи общего тензорного анализа (который для этого и был разработан). Мы надеемся, что приведенное ниже весьма краткое описание основных свойств этого подхода окажется и несложным для понимания, и полезным.

Рассмотрим некоторое допустимое и соответственное (см. гл. 8) преобразование координат в координаты для которого по аналогии с имеем

Заметим, что индексы в написаны сверху (по причинам, которые будут объяснены впоследствии) и что, как и прежде, Играющий в дальнейшем важную роль метрический тензор в пространстве определяется из рассмотрения длины дифференциального линейного элемента

и мы видим, что является «метрикой» в пространстве «метрикой» в пространстве

Оказывается, что диагонален для ортогональных систем координат и что в декартовых прямолинейных координатах компоненты постоянны.

Так как двумерные косоугольные декартовы координаты были введены в гл. 8, весьма простым и поучительным примером может быть введение обобщенных тензорных обозначений для этого случая. Из предыдущих замечаний можно было бы ожидать, что должен иметь размер и что компоненты его постоянны. Следует добавить, что характерная черта тензорного анализа заключается в том, что соответствующим образом построенные тензорные соотношения оказываются верньми во всех системах координат, и поэтому теоремы, доказанные в X, верны во всех

На рис. А. 1, а изображаются вектор V в с тензорными компонентами и базисные векторы которые определяют

Рис. А.1. (см. скан)

составляющие вектора Компоненты с верхними индексами называются контравариантными тензорными компонентами соответствующие базисные векторы в Легко показать, что и поскольку из рис. следует, что правилом преобразования является просто

то из получаем

Если, однако, рассмотреть преобразование даже для простой полярной системы координат то

Теперь видно, что (направленный по ) остается постоянным единичным вектором, а не равен единице и изменяется от точки к точке. [Заметим, что, так как координаты ортогональны, кроме того, выражается в единицах, которые сглаживают неоднородность по размерности, свойственную системе в членах вида

Рассмотрим теперь изображенный на рис. А.1,6 тот же вектор для осей, перпендикулярных и определенных при помощи базисных векторов В общем трехмерном случае ортогонален плоскости Компоненты вектора V, построенные по правилу параллелограмма (в этом случае они фактически являются компонентами разложения вектора V по осям рис. А. 1,6), обозначаются через ; величины и называются ковариантными тензорными компонентами Ясно, что в ортогональных декартовых координатах и различия между ко- и контравариантными компонентами нет, тогда как в общей системе координат оно обязательно имеется.

Вместе с определим ковариантные элементы вдоль новых осей по формулам

и аналогично

Совокупность величин также представляет собой тензор второго ранга и называется ассоциированным метрическим тензором в Легко показать, что (т. е.

Возвращаясь к нашему примеру косоугольных декартовых координат, получаем

Поэтому , так что больше не являются единичными векторами. Аналогично обстоит дело и в полярных координатах: хотя оси совпадают, но и контравариантные и ковариантные компоненты различны

Одно из следствий неединичности базисных векторов заключается в том, что следует проводить различие между физическими компонентами тензора (которые обязательно однородны по размерности) и тензорными компонентами (которые могут не быть

однородными). Рассмотрим, скажем, вектор если то физическая компонента вектора будет не так как Этот закон легко обобщается на случай, когда физические компоненты V равны тогда

(суммирование по не производится).

Например, если для полярных координат то и контравариантная компонента равна 2, тогда как

Для согласования контравариантных и ковариантных компонент правило суммирования несколько меняется, и теперь подразумевается суммирование по верхнему и нижнему (или по нижнему и верхнему) индексам. Поэтому

и

Соотношения позволяют сделать три важных вывода:

1) могут возникать смешанные тензоры (например, );

откуда

в декартовом пространстве X это совпадает с а в общем случае как легко видеть из рис. А. 1,6, вычисляется просто по теореме косинусов;

3) в тензорах индексы могут подниматься или опускаться, т. е. аналогично обстоит дело с тензорами второго и более высокого рангов, например

Подобно тому как мы различали физические и тензорные компоненты векторов (первый ранг), следует различать их и для тензоров второго и более высокого рангов. Здесь уместно задать следующий вопрос: какова (кроме общей координатной инвариантности упомянутых ранее тензорных уравнений) практическая ценность всех подобных величин? Ответ заключается в том, что перечисленные

ниже общие правила преобразования тензоров применимы ко всем допустимым преобразованиям тензорных (не физических), компонент тензоров (таких, как смещения, напряжения, деформации, упругие податливости, градиенты скаляров и т. д.).

Преобразование скаляров вполне соответствует но для тензоров первого и второго ранга теперь имеем 1) первый ранг:

2) второй ранг:

с очевидным обобщением для смешанных тензоров и тензоров более высокого ранга. Например, обычный дифференциальный элемент преобразуется как контравариантный вектор, а градиенты скаляров преобразуются ковариантно:

В обычном выражении для энергии деформации -подразумевается, что тензоры напряжений и деформаций должны быть противоположной вариантности. Заметим, что все описанные выше операции становятся чисто «механическими», как только задается закон преобразования координат и, следовательно, метрика. Каждому, кто желает изучить этот подход более глубоко, мы советуем посмотреть его описание в книгах Фына (Fung Y. С. Foundations of solid mechanics. - Prentice-Hall, 1965) и Сокольникова (Sokolni-koff I. S. Tensor analysis theory and applications to geometry and mechanics of continua. - Wiley, 1964. [Имеется перевод: Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1971.]).