15.4. Интегрирование произведений ядер на базисные функции

15.4.1. Введение

Для того чтобы сформировать матрицу линейной системы, необходимо вычислить интегралы, входящие в дискретизированные граничные интегральные уравнения (здесь для удобства считается, что объемные силы отсутствуют), т. е. для МГЭ имеем систему

где общее число граничных элементов, а — общее число узлов в граничном элементе. Для непрямого метода аналогичная дискретизированная система уравнений имеет вид

В уравнениях (15.1) предполагается, что декартовы координаты в уравнениях (15.2) для непрямого метода) в произвольной точке, принадлежащей граничному элементу, выражаются через декартовы координаты узлов (например, ) и базисные функции

где базисные функции могут быть линейными (плоские элементы), квадратичными, кубическими и т.д. (см. гл. 8).

Дифференцируя (15.3) по (в двумерном случае эта ось локальных координат направлена вдоль элемента), мы получим вектор, касательный к элементу в точке

Якобиан равен а нормаль совпадает с одним из векторов или в зависимости от с какой стороны от элемента находится упругое тело.

Для поверхностного граничного элемента в трехмерном пространстве мы можем аналогичным образом ввести оси локальной системы координат и, дифференцируя (15.3) по получить векторы, касательные к координатным линиям:

Вектор нормали к поверхности элемента в точке может быть найден путем построения векторного произведения двух векторов с координатами (15.5); модуль полученного таким образом вектора будет совпадать с якобианом. Зная якобиан и нормаль мы можем приступить к интегрированию выражений, стоящих в фигурных скобках в соотношениях (15.1) и (15.2).

15.4.2. Вычисление несингулярных интегралов

Когда точка наблюдения в подынтегральном выражении в (15.1) не совпадает с узлом произведение ядра на базисную функцию и якобиан остается ограниченным и, следовательно, может быть проинтегрировано численно с помощью обычных гауссовских квадратурных формул с единичной весовой функцией, а именно формул

для линейной и поверхностной областей интегрирования соответственно. Детальное описание подобных квадратурных формул можно найти в приложении В. Ясно, что перед их использованием для вычисления интегралов от произведений ядер на базисные функции соответствующие граничные элементы необходимо преобразовать в канонические с единичными пределами интегрирования.

Поскольку на вычисление несингулярных интегралов тратится значительная часть машинного времени, эта процедура должна быть по возможности оптимизирована. Последнее может быть достигнуто (как сделали, например, Лаша и Уотсон в программе для трехмерной задачи теории упругости) путем задания максимальной верхней границы погрешности численного интегрирования. Попросту говоря, это означает, что порядок квадратурных формул должен меняться в зависимости от отношения расстояния между «нагруженным» граничным элементом и точкой наблюдения к характерному размеру «нагруженного» элемента, а также от того, насколько сильной является особенность.

Подробное обсуждение приближенных формул, предложенных для определения необходимого порядка квадратурных формул интегрирования, содержится в работах Лаша и Уотсона [1-4, 11] и Мусто [12]. Уотсон [11] рассматривает дополнительно схемы интегрирования по бесконечным граничным элементам (см. также гл. 8).

15.4.3. Вычисление сингулярных интегралов

Если точка наблюдения в подынтегральном выражении совпадает с узлом то описанная выше схема интегрирования не может быть использована.

В двумерном случае интеграл от может быть разбит на две части — сингулярную и несингулярную:

где константа, а второй интеграл, содержащий несингулярен и поэтому может быть вычислен так же, как это указывалось выше. Первый интеграл, однако, имеет логарифмическую особенность и требует специального рассмотрения.

Сингулярный интеграл рассматриваемого в (15.7) вида может быть вычислен при помощи квадратурной формулы, принадлежащей Строуду и Секресту [13] (см. приложение В):

и являющейся точной, если функция полином степени не выше

Для использования этой формулы каждый граничный элемент разбивается на несколько подзлементов так, чтобы особая точка в формуле (15.8) всегда находилась в начале координат 0.

К сожалению, сингулярные интегралы от функции не могут быть вычислены подобным образом. Однако, замечая, что базисная функция равна единице в особом узле (скажем, в узле 1), мы можем записать для (15.26) выражение

Здесь первый интеграл, являющийся несингулярным в силу того, что обращается в нуль в особой точке и подынтегральное выражение ведет себя достаточно хорошо в окрестности этой точки, может быть найден численно; второй же интеграл должен вычисляться аналитически. Для плоских граничных элементов эти интегралы вычисляются просто. Для квадратичных и кубических граничных элементов (т. е. искривленных граничных элементов) указанный выше второй интеграл приходится разбивать на два, один из которых отвечает интегрированию по плоскости, касательной к элементу и проходящей через особую точку, и может быть вычислен аналитически, а другой — интегрированию по искривленной поверхности граничного элемента и может быть найден численно. Добавляемое к полученным коэффициентам разрывное слагаемое приводит к диагональному преобладанию коэффициентов блоков итоговой матрицы. Указанная выше процедура, безусловно, может быть использована и для вычисления интегралов от

Несмотря на то что весьма тщательно разработанная техника описанная выше, может быть использована и в прямом методе, наиболее элегантный путь вычисления вкладов от этих интегралов и свободных членов состоит в рассмотрении смещений твердого тела как единого целого (см. гл. 3 и 4, а также работы [1—5, 11, 12]).

Очень ясное изложение этой идеи применительно к вычислению сингулярных составляющих интегралов по бесконечным граничным элементам принадлежит Уотсону [11] (см. гл. 8).

В трехмерном случае для вычисления интегралов от можно воспользоваться любым из описанных выше методов, т. е. либо соотношениями типа (15.9), либо путем анализа смещений тела как абсолютно жесткого. Если при вычислении интегралов от особая точка совпадает с вершиной треугольного (вырожденного четырехугольного) элемента (рис. 15.2,а), то интегрирование может быть выполнено по переменным Заметим, что, так как линии сходятся в точке наблюдения, при приближении к

Рис. 15.2. Подразделение элементов для интегрирования по граничным элементам.

этой точке произведение стремится к конечному пределу, и, следовательно, можно пользоваться формулой (15.66). Если точка наблюдения находится в угловом узле прямоугольника или в срединном узле на его боковой стороне (рис. 15.2,б), то элемент должен быть подразделен на треугольные подзлементы и интегрирование по каждому подзлементу должно проводиться в координатах, показанных на рис. 15.2,а. Дальнейшие обсуждения этих схем интегрирования содержатся в работах [1, 11, 12, 14, 15].