14.4. Комбинирование методов конечных и граничных элементов

14.4.1. Получение соотношений метода, конечных элементов методом взвешенных невязок

Для всех задач теории упругости соотношения метода взвешенных невязок (14.4) принимают вид

Для преобразования объемного интеграла мы снова можем воспользоваться теоремой Гаусса — Остроградского, которая дает

Подставляя (14.42) в (14.41) и полагая для удобства получаем так называемую слабую формулировку

Если учесть симметричность тензора напряжений а также связь между напряжениями и деформациями и соотношения между деформациями и смещениями, то объемный интеграл в (14.43) можно преобразовать к виду

где модуль сдвига и

Интерполируя смещения по их узловым значениям и (где номер узла)

и подставляя результат в уравнение (14.44), получаем [7]

Отсюда сразу следует, что если выбрать равным то уравнение (14.46) станет симметричным относительно индексов Поэтому, взяв в качестве весовых функций [7, 371

и подставив (14.44) с учетом (14.46) в (14.43) можно получить симметричную систему линейных уравнений

или просто

это окончательная форма соотношений метода конечных элементов относительно смещений [37].

14.4.2. Симметричное объединение ПМГЭ и МКЭ

Если область конечных элементов обозначить через а область МГЭ через то систему уравнений для двух областей можно записать (например, для задач теории упругости) в виде

где и векторы узловых смещений и сил внутри области V включая узлы, принадлежащие ее границе, а векторы смещений и сил в узлах на границе области

Уравнение (14.496), очевидно, имеет тот же самый вид, что и любое уравнение, полученное при дополнении системы конечных элементов новыми элементами. Следовательно, уравнения (14.49а, 6) могут быть объединены путем удовлетворения обычным образом условиям совместности смещений на внутренних границах. Выполнение последних может быть обеспечено лишь в том случае, когда граничные базисные функции для смещений совпадают с изменениями смещений в примыкающих конечных элементах. При этом условие равновесия удовлетворяется в дискретном смысле, а именно сумма узловых значений сил в каждом узле равна результирующей внешних сил, приложенных к этому узлу.

4.4.3. Симметричное объединение НМГЭ и МКЭ

Для применения симметричного НМГЭ к области и МКЭ в области их общую внутреннюю границу необходимо рассматривать (например, в задаче о потенциальном течении) как асть поверхности на которой задан потенциал

Эквивалентную (14.13) систему уравнений для области можно лреобразовать к виду

где очевидным образом определяются так же, как и в уравнении (14.13). Второе матричное уравнение в (14.50) просто означает, что интеграл от по границе области равен нулю (т. е. выполняется дополнительное условие единственности, обсуждавшееся в гл. 2—4).

Уравнение (14.50) теперь может быть включено в систему уравнений метода конечных элементов для области в качестве уравнения, отвечающего новому элементу с неузловыми переменными и узловыми переменными Дальнейшие подробности этой процедуры изложены Келли, Мусто и Зенкевичем а также Мусто [7].

14.4.4. Примеры

(а) Задача о детали машины [8]. На рис. 14.3 показана геометрия детали, исследованной Келли, Мусто и Зенкевичем [8]

Рис. 14.3. Задача о детали машины, исследованная МКЭ (а), комбинацией - симметричного ПМГЭ и МКЭ (б), симметричным ПМГЭ (в).

(кликните для просмотра скана)

тремя методами: 1) методом конечных элементов с использованием 95 восьмиузловых изопараметрических элементов, содержащих в общей сложности 366 узлов, 140 из которых находились на границе; 2) комбинацией ПМГЭ и МКЭ и 3) симметричным ПМГЭ. В случае ПМГЭ граница моделировалась путем квадратичной аппроксимации граничных значений потенциала и разбиения исходной области на шесть подобластей для удобства формирования ленточной матрицы системы. Следует отметить, что для задач со столь большим отношением поверхности области к ее объему этот тип МГЭ не является вполне подходящим методом.

На рис. 14.4 показаны распределения потенциала вдоль границ, полученные тремя методами. При этом для получения решения методом конечных элементов требовалось втрое меньше машинного времени, чем при использовании симметричного ПМГЭ. Этот факт обусловлен в основном двумя обстоятельствами: 1) симметричный вариант метода в два раза дороже (в вычислительном отношении) несимметричного и 2) для областей подобной формы представляются предпочтительными схемы дискретизации самой области, а не ее границы.

(б) Дифракция волн на цилиндрической опоре с пористой защитной стенкой [8]. Схема дискретизации для данной задачи показана на рис. 14.5. Область между цилиндрической опорой и пористой защитной стенкой, а также некоторая ее наружная окрестность моделировались МКЭ; в остальной части внешней области использовался симметричный ПМГЭ. Сама пористая стенка моделировалась шестиузловым конечным элементом, учитывающим условия протекания через стенку, а именно где потенциалы скорости соответственно с внутренней и наружной

Рис. 14.6. Силы, действующие на опору с защитной стенкой.

стороны пористой поверхности. Силы воздействия волн на опору и пористую стенку приведены на рис. 14.6 для различных значений приведенного коэффициента проницаемости

Рис. 14.7. Эквипотенциали в окрестности квадратного проводника, параллельного брусу из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью, равной 6.

(в) Экранирование квадратного проводника брусом из диэлектрика [1]. В работе [1] предлагалось объединить НМГЭ и МКЭ для моделирования внешней области этой задачи. На рис. 14.7 показаны эквипотенциали электрического поля заряженного квадратного металлического проводника, помещенного вблизи параллельного ему прямоугольного бруса из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью, равной 6. В области, ограниченной штриховыми линиями, использовался МКЭ, а во внешней по отношению к ней области — галёркинский вариант НМГЭ.