1.2. Альтернативный подход
Очевидным альтернативным подходом к системе дифференциальных уравнений была бы попытка аналитически проинтегрировать их каким-нибудь способом или перед переходом к какой-либо схеме дискретизации, или перед введением какой-либо аппроксимации. Конечно, мы пытаемся проинтегрировать дифференциальные уравнения, чтобы найти решение, какой бы метод мы ни использовали, но сущность методов граничных интегральных уравнений состоит в преобразовании дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения задачи. Интуитивно можно ожидать, что такая операция (если она окажется успешной) даст систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области.
Отсюда в свою очередь должно следовать, что любая схема дискретизации, которая понадобится впоследствии, будет приводить
лишь к разбиениям поверхности, ограничивающей область. Так и происходит; поэтому в любой однородной области требуется дискретизировать только поверхность, а не всю обласгь (отсюда и название — «метод граничных элементов»), так что область становится одним большим сложным «элементом» в смысле метода конечных элементов. Тогда переменные, описывающие решение, будут изменяться непрерывно в этой области и все аппроксимации геометрии и т. д. будут иметь место только на ее внешних границах.
Интуитивно можно ожидать и другое, а именно, что вывод граничных интегральных уравнений и их решение могут оказаться более сложными математически, чем прочие упомянутые выше методы. К счастью, это верно лишь отчасти, несмотря на то что методы граничных интегральных уравнений в прошлом развивались в основном математиками. Существующая литература, хотя и обширна, имеет очевидный математический уклон. При этом отсутствует конечное «вознаграждение», состоящее в том, что в итоге получается универсальный метод, который можно единообразно использовать. Однако с практической точки зрения за последние несколько лет ситуация улучшилась. Теперь доступны методы граничных элементов (МГЭ), развитые, по существу, на основе идей интегральных уравнений. Эти методы широко применимы без использования доказательств существования и единственности для каждого отдельного решения. В результате они становятся уеперь чрезвычайно популярными и реализуются в алгоритмах для быстродействующих ЭВМ, непосредственно используемых практиками.
