10.5. Типичные применения

Благодаря присущим МГЭ преимуществам при получении численного решения внешней задачи в литературе имеется много примеров их применения; некоторые из них будут описаны ниже.

Рис. 10.6. (см. скан) Окружные напряжения на границе полости, обусловленные прохождением продольной синусоидальной волны, по сравнению с результатами Бао (случай плоского напряженного состояния).

(а) Стационарное распределение напряжений вокруг полостей произвольной формы, обусловленное прохождением продольной и поперечной волн. Нива, Кобаяси и Адзума [38] использовали для этой задачи прямой алгоритм метода граничных элементов для исследования точности метода по сравнению с альтернативным решением, полученным Бао [58]. Рассматривалась падающая продольная волна вида

где — амплитуда, волновое число, круговая частота и длина волны соответственно. Численные результаты, полученные с использованием 24 граничных элементов с постоянными усилиями и смещениями на них, показаны в сравнении с результатами Бао на рис. 10.6. Здесь а — радиус полости коэффициент Пуассона отношение окружных напряжений к приложенным напряжениям.

По мере того как длина волны увеличивается, распределение напряжений стремится к статическому, тогда как при уменьшении длины волны рассеяние последней уменьшает полную концентрацию напряжений. Аналогичные результаты для случая плоской деформации представлены на рис. 10.7. Точность численных результатов естественно уменьшается для меньших длин волн, поскольку используется более грубая дискретизация границы.

Напряжения в условиях плоской деформации на границе

Рис. 10.7. Окружные напряжения на границе полости, обусловленные прохождением продольной синусоидальной волиы (случай плоской деформации).

Рис. 10.8. Окружные напряжения на границе полости, обусловленные прохождением поперечной синусоидальной волны.

полости, обусловленные прохождением поперечной волны смещений вида (10.78), приведены на рис. 10.8, где напряжения сдвига, переносимые падающей волной. Численные результаты были получены при использовании 48 граничных элементов с постоянной интенсивностью на них

Еще раз отметим, что, по мере того как длина волны растет, распределение напряжений стремится к статическому, но достигает несколько больших значений (этого и можно было ожидать). Эффекты рассеяния становятся доминирующими при уменьшении длины волны, хотя, когда длина волны становится величиной порядка длины граничных элементов, точность результатов может оказаться сомнительной.

(б) Нестационарные распределения напряжений вокруг полостей произвольной формы. Нива, Кобаяси и Адзума [38] рассмотрели также задачу о нестационарном поле напряжений вокруг полости произвольной формы, обусловленном прохождением волны, произвольно зависящей от времени, при помощи суперпозиции соответствующих стационарных решений [59]. Этот метод решения может быть разделен на три стадии. Первый шаг заключается в аппроксимации нестационарных поперечных и продольных волн с произвольной зависимостью напряжений от времени рядом Фурье

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 10.13. Сравнение теоретической и экспериментальной частотных характеристик для полностью открытой гавани.

с коэффициентом Ланцоша

Второй шаг заключается в получении стационарного решения для соответствующих синусоидальных волн, в котором используется описанный выше метод граничных элементов. Третий и последний шаг заключается в суперпозиции этих решений для восстановления распространяющейся волны, хотя очевидна важность наличия достаточного времени между импульсами, чтобы поверхностная энергия успевала рассеиваться в окружающую среду.

На рис. 10.9 приведен наиболее убедительный пример — точность аппроксимации ступенчатой волны рядом Фурье с Результирующее решение для окружного напряжения при (рис. 10.10), обусловленного прохождением такой падающей продольной волны, сравнивается с решением Гарнета и Паскаля [59], в котором отсчет времени начинается в момент достижения фронтом волны левой границы полости. Максимальное значение окружного напряжения равно примерно —2.98 для безразмерного момента времени 3.5 в отличие от значения —2.67 для статического случая.

Соответствующие результаты для приведены на рис. 10.11, где максимальная концентрация напряжения равна примерно 0.22 в сравнении с нулем для статического случая. Правда, в этом случае результаты, полученные при помощи МГЭ, значительно отличаются от результатов работы [59].

В [38] авторы рассмотрели задачу о вычислении нестационарного поля напряжений на границе подковообразной полости во время прохождения ступенчатой продольной волны, распространяющейся в горизонтальном направлении. Их результаты изображены на рис. 10.12, на котором видно, что высокая концентрация напряжений имеет место на нижних углах с малым радиусом закругления 0.2а, где а — радиус верхней части полости.

(в) Колебания в гавани произвольной формы. Задачи о колебаниях жидкости в гавани сводятся к решению скалярного уравнения Гельмгольца

Рис. 10.14. Акустическое излучение в воде от подкрепленной цилиндрической оболочки.

я поэтому естественно относятся к классу задач, обсуждаемых в данной главе.

В работах [28—31] рассмотрены решения этого уравнения для задач распространения волн в жидкости. На рис. 10.13 приведено типичное решение, полученное Хуаном и Туком [29] для задачи о прямоугольной гавани, связанной с открытым морем. Численное решение сравнивается здесь с экспериментальными результатами и найденным ранее приближенным аналитическим решением Иппена и Годы [60]. Все результаты измерений и вычислений относятся к точке А, изображенной на врезке к рис. 10.13. В непосредственной окрестности основного периода колебаний результаты, полученные непрямым МГЭ, немного превосходят результаты Иппена и Годы, что вполне объясняется сделанными ими допущениями.

(г) Некоторые применения в акустике. Большинство особенностей интегральных методов, описанных в этой главе, на протяжении многих лет были известны акустикам. Но лишь совсем недавно появились работы, в которых численно исследовались скалярные волновые уравнения для стационарного и нестационарного случаев (см. [4—6, 10, 13—19, 21—24]).

На рис. 10.14 приведены результаты из работы [16], в которой исследовалось акустическое излучение в воде от подкрепленной цилиндрической оболочки, представленной дискретными массами. Эти результаты были получены решением задачи о гармонических колебаниях непрямым МГЭ [16].

В работе [17] рассматривалась задача рассеяния расположенной

Рис. 10.15. Полное давление, индуцированное на поверхности твердой сферы импульсом в форме гауссовой кривой (амплитуда импульса, радиус сферы и скорость звука приведены к единице; ширина импульса равна диаметру сферы).

в начале координат сферой радиусом импульса в форме гауссовой кривой

распространяющегося со скоростью Для решения использовался прямой МГЭ (который в этой работе рассматривался как вариант метода запаздывающего потенциала). Результаты сравнивались с решением, полученным методом разделения переменных, как показано на рис. 10.15.

Другие впечатляющие примеры применения МГЭ к задачам распространения стационарных и нестационарных скалярных и векторных волн можно найти в работах [4, 8, 13—15, 18, 61—72]. В [63] авторы объединили свои ранние работы по вязкоупругости и динамике нестационарных волн и разработали метод решения задач о распространении волн в вязкоупругих телах.