9.8. Типичные приложения

Следующие четыре примера заимствованы из работы Томлина [2]. Первый из них (рис. 9.8) не требует пояснений и иллюстрирует порядок ожидаемых погрешностей в простейшем «одномерном» случае при использовании и без использования внешних фиктивных источников в НМГЭ для разных значений приращения

(кликните для просмотра скана)

Рис. 9.9. (см. скан) Диффузия в случае плоско-радиальной симметрии.

времени Характерные особенности полученных решений вретаковы. При отсутствии фиктивных источников максимальные погрешности результатов при и 0.005 составляют соответственно около 3 и 5% при значениях времени и 0.1, но полностью исчезают при значениях времени С подключением фиктивных источников максимальная ошибка даже при составляет около 1% (тогда как для этого значения

(кликните для просмотра скана)

при отсутствии фиктивных источников погрешности равны 13 и 10% при и 0.1 соответственно).

Второй пример (рис. 9.9) демонстрирует превосходное совпадение численного и аналитического [22] решений осесимметричной задачи диффузии. При использовании двух фиктивных круговых источников (внутреннего и внешнего) вместе с начальным мгновенным кольцевым источником матрицы задачи имеют размер лишь однако их элементы содержат бесселевы функции (см. [2]).

Следующая тестовая задача представлена на рис. 9.10, где прослежено возрастание со временем температуры внутри однородной прямоугольной области, подогреваемой с одной из сторон. Соответствие между результатами, полученными НМГЭ, и аналитическим решением [30] снова очень хорошее: максимальные погрешности на границах не превышают 2—3% и возрастают примерно до 7% вблизи особенности, находящейся в левом нижнем углу. Здесь были использованы внешние фиктивные источники, но вдоль меньшей и большей сторон прямоугольника было лишь по пять и шесть граничных элементов соответственно и два мгновенных треугольных источника внутри прямоугольника, образованных его диагональю Та же самая задача была решена [11] при помощи алгоритма ПМГЭ, описанного в этой главе, с использованием лишь четырех элементов на каждой стороне прямоугольника, но большего числа (а именно четырех) внутренних треугольных ячеек. При полученные результаты неотличимы от аналитических.

Наконец, рис. 9.11 иллюстрирует изменение вероятного распределения перепада порового давления воды под фундаментом сооружения на водонасыщенном глинистом грунте. Основная особенность, представляющая здесь интерес, состоит в том, что плоское тело включает четыре соприкасающиеся зоны различного анизотропного материала, в которых давление воды «диффундирует» к поверхности «дренируемого» грунта. Эквипотенциалй получены путем интерполяции численных результатов, приведенных в отдельных точках.

Множество инженерных проблем связано с плавлением и затвердеванием материалов. Задачи образования и таяния льда возникают в связи с проблемами охраны окружающей среды, а затвердевание слитков и плавление металлического лома являются важнейшими металлургическими процессами.

В этих так называемых задачах с подвижными границами определение положения границы в зависимости от времени является главной составной частью решения. Так как МГЭ в основном имеет дело с границами, потенциально он является весьма эффективным средством решения подобных задач. На рис. 9.12 [20] показаны

(кликните для просмотра скана)

Рис. 9.11. Перепад порового давления в кусочно-однородном анизотропном грунте теория Терцаги — Рендулика) (начало на с. 270).

некоторые результаты, относящиеся к плавлению стального сляба. В начальный момент времени сляб при постоянной температуре был погружен в хорошо перемешанный чистый расплав железа, находящийся при температуре выше точки плавления.

Рис. 9.12. а — нестационарные температурные профили в твердом слябе до начала плавления; б - график зависимости положения границы плавления от времени.

На рис. 9.12, а приведено распределение температуры в сечении сляба при различных значениях времени до начала плавления, а на рис. 9.12, б — положение линии плавления в зависимости от времени.

Впервые в этой области МГЭ был применен в работах [20, 21], где было получено описанное выше решение при помощи ПМГЭ, который был распространен на задачи с зависимостью температуры плавления от массопереноса (диффузия углерода).

Подробные описания алгоритмов МГЭ применительно к задачам диффузии и родственным проблемам можно найти в работах [2—6, 9—11, 16, 23—25, 31].