8.11. Примеры

В течение последних пяти лет рядом специалистов на основе МГЭ были разработаны программы второго поколения для вычислительных машин. Это очень отчетливо показывает, что значительная часть потенциальных возможностей МГЭ в настоящее время уже реализована. Примеры, приведенные ниже, послужат, как мы надеемся, убедительной иллюстрацией данной точки зрения.

(а) Пластинка с краевым надрезом («компактный образец») [9, 12]. Образец схематически изображен на рис. 8.18. Сосредоточенные нагрузки прикладываются через отверстия в направлении, перпендикулярном надрезу; величина нагрузок составляет Предполагается, что в образце имеет место плоская деформация; модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала равны и 0.3 соответственно.

Коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва в задачах теории упругости при плоской деформации может быть записан в виде [12]

где потенциальная энергия на единицу толщины, нагрузка.

На рис. 8.19 показана дискретизация конечными элементами, включающая 223 треугольных элемента (шестиузловых изопараметрических), и дискретизация МГЭ, состоящая во введении 28 кубических граничных линейных элементов.

Как время подготовки данных, так и стоимость вычислительных работ для решения задачи МГЭ были значительно ниже, чем при использовании метода конечных элементов. Полученные численные значения потенциальной энергии на единицу толщины V для обоих методов приведены на рис. 8.20. Результаты фактически неразличимы во всем интервале значений

(б) Образец для испытаний на малоцикловую усталость [13, 14]. Поперечное сечение образца показано на рис. 8.21. Наличие

(кликните для просмотра скана)

криволинейных поверхностей, концентрация напряжений и трехмерные эффекты позволяют считать эту задачу типичной практической задачей. Образец нагружался через пальцы в точках Сплошной линией показана упрощенная форма, принятая для исследования двумя методами: МГЭ (с использованием программы [9]) и МКЭ (с использованием программы Разработке окончательного варианта программы обладающей при минимальных затратах достаточной универсальностью и позволяющей получать удовлетворительные результаты, предшествовали весьма тонкие, исследования МГЭ, в ходе которых было получено эталонное решение и обоснованы требования, предъявляемые к «разумному» решению.

Рис. 8.20. Изменение потенциальной энергии на единицу толщины, подсчитанное по МКЭ и МГЭ.

Схемы дискретизации, использованные для указанных двух методов, представлены на рис. 8.22. Стоит отметить, что из-за большого отношения площади поверхности к объему образца данная задача не слишком подходит для МГЭ.

Схема расположения узлов в МГЭ, показанная на рис. 8.22,а, соответствует свободной поверхности и срединной плоскости симметрии; при этом всюду, за исключением непосредственной окрестности выреза, на полутолщину образца приходился лишь один слой поверхностных элементов. В результате дискретизации было получено 28 граничных элементов с квадратично меняющимися геометрическими и функциональными параметрами в 84 узлах. Время расчета составляло (единиц времени центрального процессорного устройства) на ; для нахождения эталонного численного решения время, конечно, было существенно больше.

При расчете по программе использовались два слоя элементов на полутолщине образца. Дискретизация состояла в построении 16 гексаэдральных элементов (по 20 узлов в каждом) и включала в общей сложности 141 узел; при этом время расчета составляло Однако точность результатов програмхмы была значительно ниже, чем программы как это можно видеть на рис. 8.23 и 8.24. Поэтому был выполнен также

Рис. 8.21. Малоцикловое усталостное испытание образца. Полная толщина образца дюйма. Нагружение (1900 фунт) реального образца осуществляется через пальцы, вставляемые в отверстия. Форма исследуемого образца (с учетом штриховой линии) упрощена (она показана сплошной линией); к поверхностям и прикладывались касательные нагрузки. Все размеры указаны в дюймах.

вторичный расчет по программе в котором использовались четыре слоя элементов на полутолщине образца. При этом всего было 32 элемента и 245 узлов, а время расчетов равнялось Вблизи выреза результаты существенно не улучшились, но точность решения по толщине образца стала несколько выше.

(в) Образец с двумя краевыми надрезами [13]. Схема дискретизации образцов с двумя краевыми надрезами, изготавливаемых для малоцикловых усталостных испытаний различных анизотропных сплавов, используемых в турбостроении, показана на рис. 8.25. Для моделирования части образца использовалось 26 поверхностных элементов, образованных 93 узлами, с квадратичным изменением на них геометрии и функций. Исследование выполнялось как для изотропных, так и для трансверсально изотропных материалов, нагруженных в направлении оси

На рис. 8.26 показано изменение по основанию надреза для этих двух материалов. В обоих случаях максимальное напряжение возникает в центре образца и лишь незначительно меняется

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.26. — среднее напряжение в сечении по основанию надреза, R - радиус надреза.

в центральной части, составляющей 50—75% толщины образца, но резко убывает при приближении к свободной поверхности. Расчет в анизотропном случае был выполнен с использованием процедуры численного построения фундаментального решения, предложенной Уилсоном и Крузом [15, 16] и описанной в гл. 6. На рис. 8.26 представлены также значения, соответствующие условиям плоской деформации.

(г) Исследование диска турбины с краевой прорезью [14]. Краевые прорези в диске турбины, служащие для закрепления лопаток рабочих колес газовой турбины, приводят к концентрациям напряжений в краевой части диска в результате инерционного нагружения диска и прикрепленных к нему лопаток. Для подвода охлаждающего воздуха к лопаткам турбины в краевой части диска

Рис. 8.25.

Рис. 8.28. (см. скан)

делаются отверстия для охлаждения, выходящие в краевые прорези диска. Исследование поля напряжений в области пересечения краевых прорезей с отверстиями для охлаждения необходимо для предсказания усталостной долговечности диска турбины при циклическом нагружении, а также для оптимизации формы отверстий для охлаждения и краевых прорезей. В подобных задачах наибольшую важность представляют трехмерные эффекты, проявляющиеся в данном случае вблизи пересечений краевых прорезей с отверстиями для охлаждения.

На рис. 8.27 показана модель диска для испытаний в сечениях, параллельных краевым прорезям, и в поперечном сечении, а также геометрия радиальных отверстий для охлаждения. Поскольку

в этой модели удлинение лопаток не приводит к возникновению трансверсального напряжения, с помощью гидравлических домкратов в радиальном и тангенциальном направлениях прикладывались независимые нагрузки, позволяющие в результате их суперпозиции моделировать реальное состояние нагружения диска. С обеих сторон в центре краевой прорези и отверстия для охлаждения была установлена измерительная аппаратура, и замеренные результаты были осреднены (модель была симметричной).

На рис. 8.28 показана трехмерная дискретизация конечными элементами геометрии четверти краевой прорези с отверстием для охлаждения, выполненная с использованием восьмиузловых изопараметрических элементов. Это привело к очень грубому моделированию задачи и потребовало времени для расчета на ЭВМ IBM 370. Для того чтобы получить более детальное представление о поведении решения в краевой прорези и отверстии для охлаждения, были проведены дискретизации МГЭ (рис. 8.29) области (рис. 8.28). В первой из них использовались 436 плоских треугольных элементов с линейными изменениями на них сил и смещений в то время как во второй — 97 изопараметрических поверхностных элементов с квадратичными изменениями Смещения, полученные методом конечных элементов, были использованы в качестве граничных условий на верхней и нижней поверхностях моделей МГЭ.

Значения коэффициента концентрации деформаций (определенного как отношение локальных деформаций к номинальным) в отверстии для охлаждения, полученные путем натурных испытаний и моделирования МГЭ (рис. 8.29), приведены на рис. 8.30. Максимум деформации, предсказываемый программой примерно на 8% ниже, чем по данным испытаний, тогда как для программы занижение составляет всего 1%.

Время расчета для программы было порядка по сравнению с 11 мин, требуемыми для программы это убедительно доказывает преимущества моделирования с использованием дискретных элементов высшего порядка.

(д) Поле внутри сердечника трансформатора [17]. Ток плотностью , текущий по спирали, является источником магнитного потенциала удовлетворяющего уравнению Пуассона

всюду в спирали, где магнитная проницаемость свободного пространства. В воздухе, окружающем спираль, мы имеем

причем магнитная проницаемость сердечника считается равной бесконечности.

В силу симметрии задачи относительно обеих осей (рис. 8.31) достаточно рассмотреть лишь один квадрант, показанный

(кликните для просмотра скана)

на рис. 8.32, где области соответствуют сечениям спиралей с плотностями тока соответственно, удовлетворяющими условию так как суммарный ток равен нулю. Область соответствует части сечения, не занятой спиралями. Таким образом, может быть поставлена следующая задача найти решение уравнения

удовлетворяющее граничному условию всюду на внешней границе прямоугольника. На внутренних границах между областями должны выполняться обычные условия непрерывности

Данная задача была решена МГЭ при трех различных схемах дискретизации.

Рис. 8.31.

Рис. 8.32.

В МГЭ-1 и МГЭ-2 использовались квадратичные граничные и внутренние граничные элементы с общим числом узлов 26 и 38 соответственно, тогда как дискретизации соответствовали 47 граничных и внутренних граничных элементов, на которых переменные имели кусочно-постоянные значения. Схемы дискретизации показаны на рис. 8.33 и 8.34 соответственно; при дискретизации было на 12 узлов больше, чем в случае т. е. еще по два на каждой вертикальной стороне.

В табл. 8.1 сопоставляются результаты численных и аналитического решений [18] для компонент действующей на каждый проводник силы вдоль осей х и у (в расчете на единицу длины в направлении ). Компоненты этой силы могут быть получены путем непосредственного применения теоремы Грина к соотношению

Рис. 8.33.

Рис. 8.34.

Таблица 8.1 (см. скан) Сравнение результатов различных расчетов МГЭ с аналитическим решением

между силой и в плоскости Так, для площади спирали мы имеем

где означает границу

Значения силы для всех трех схем дискретизации очень хорошо согласуются с аналитическими результатами. Хотя в данной книге мы не рассматриваем специально применение МГЭ к задачам теории электромагнитного поля, по этому вопросу имеется довольно обширная литература, обзор которой содержится в книге Лина, Фридмана и Векслера [19].

Другие примеры успешных приложений МГЭ могут быть найдены в [20—31].