14.2.3. НМГЭ как вариант метода взвешенных невязок

Рассмотрим задачу о потенциальном течении в области V:

Основное соотношение метода взвешенных невязок для (14.5) можно записать в виде

Замечая, что

и используя теорему Гаусса — Остроградского для преобразования объемного интеграла в (14.6), получим [7]

Еще раз используя соотношение (14.7), в котором

переставлены местами, и применяя теорему Гаусса- Остроградского, будем иметь

Следует подчеркнуть, что все интегрирования в этих уравнениях выполняются по и все переменные являются функциями только от

Распределение можно выразить через распределение поверхностных источников

где узловые значения на поверхности, причем переменной интегрирования здесь является Аналогично можно представить, например, в виде

Если теперь мы выберем весовые функции таким образом, что [7, 8]

то немедленно заметим, что объемный интеграл в (14.9) исчезнет, так как (т. е. ) удовлетворяет основному дифференциальному уравнению. Поэтому, подставляя (14.10) — (14.12) в (14.9), получим [7, 8]

где

Следует отдавать себе отчет в том, что коэффициенты системы уравнений (14.13) получаются двукратным интегрированием: одно

(внутренний интеграл) проводится по переменной уравнения (14.10) и (14.11)), а другое (внешний интеграл) — по Матрица К системы (14.13) является симметричной и может быть скомбинирована с любой симметричной матрицей системы метода конечных элементов. Оригинальный способ получения симметричных соотношений непрямого метода, приводящей в итоге к точно такой же системе уравнений, принадлежит Мусто [7], который занимался его разработкой применительно к двумерным статическим задачам теории упругости.

Хотя подобный симметричный алгоритм НМГЭ, по-видимому, является несколько более дорогим (в смысле вычислительных затрат), чем его стандартный несимметричный вариант, он приводит к более точным решениям, особенно вблизи мест нарушения гладкости границы [6-8].