1.5. Сравнение особенностей методов конечных элементов и граничных элементов

1.5.1. Применимость

Все методы граничных интегральных уравнений используют принцип суперпозиции и поэтому применимы или к полностью линейным системам, или к тем, которые линейны относительно приращений либо могут бьпь аппроксимированы таковыми. Таким

образом, последняя категория расширяет область применимости методов на очень многие интересные для технических наук задачи. Представляется, что существует очень мало задач, поддающихся решению при помощи методов конечных элементов, которые нельзя было бы по меньшей мере столь же эффективно решить при помощи МГЭ. Это или задачи, в которых почти каждый отдельный элемент среды обладает различными свойствами, или задачи, геометрия которых такова, что один или два пространственных размера непропорционально малы по сравнению с другими, однако не настолько, чтобы по-настоящему уменьшить действительную размерность задачи (например, задачи о плитах и оболочках умеренной толщины, узких тонких полосах и т. п.).

1.5.2. Размерность задачи

МГЭ уменьшает размерность исходной задачи на единицу, т. е. для двумерных задач получается одномерное граничное интегральное уравнение, а для трехмерных задач — всего лишь двумерные интегральные уравнения по поверхности.

Каждая отдельная ограниченная подобласть в МГЭ должна рассматриваться как однородная, и поэтому для задач, в которых неоднородность столь велика, что для адекватного ее моделирования требуется большое количество малых однородных подобластей, расчетная схема МГЭ с разбиением на подобласти, в сущности, вырождается в расчетную схему с дискретизацией всей области. В этом случае схемы МГЭ и методов конечных элементов становятся фактически неотличимы друг от друга.

Если в задаче для однородной области или должны быть учтены распределенные объемные силы, или основные дифференциальные уравнения лишь квазилинейны (как, например, в задачах упруго-пластичности), то к граничным интегралам следует добавить объемный интеграл, включающий произвольные подразделения внутренней Чайти тела. В этих случаях, однако, разбиение внутренней части на подобласти не приводит к какому-либо увеличению порядка окончательной системы алгебраических уравнений, подлежащей решению, и преимущества МГЭ сохраняются. Читатель должен обратить внимание на отличие последней ситуации, когда разбиения внутренней части тела происходят из-за необходимости учета известного распределения объемных сил (или псевдоинкрементальных объемных сил в задачах пластичности) в однородных в остальных отношениях подобластях, от предыдущей ситуации, которая отражает фундаментальную начальную неоднородность задачи.

Итак, для подавляющего большинства практических случаев

простая граничная дискретизация обязательно ведет к значительно меньшей системе уравнений, чем любая схема дискретизации всего тела. С другой стороны, матрицы порождаемых при помощи МГЭ систем являются заполненными для однородной области и блочно-ленточными, когда имеется более одной подобласти, в то время как значительно большие матрицы, которые получаются при применении методов конечных элементов, относительно редко заполнены.

Вычисление каждого элемента матриц при решении МГЭ приводит, однако, к значительно большим арифметическим вычислениям, чем в методе конечных элементов, что компенсирует некоторое количество машинного времени, сэкономленного при решении системы. Тем не менее это означает еще и следующее. По мере того как рассматриваются все большие и большие задачи, совокупные расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значительно менее резко в зависимости от размера задачи, чем для схем метода конечных элементов. Из предпринятых различными авторами исследований [13, 29] можно заключить, что сопоставляемые времена решения трехмерных задач методом конечных элементов и методом граничных элементов при близкой точности обычно оказываются в четыре—десять раз меньше для последнего метода. Эта разница могла бы быть гораздо больше для определенных классов задач, которые особенно благоприятны для МГЭ, например для следующих.

1. Системы, границы которых частично находятся в бесконечности. Поскольку процедура решения МГЭ автоматически удовлетворяет допустимым граничным условиям на бесконечности, разбиение этих границ не требуется, в то время как в методе конечных элементов границы в бесконечности должны быть аппроксимированы значительным количеством удаленных элементов.

2. Системы, содержащие полубесконечные области с «ненагру-женными» участками свободной границы. И в этом случае вообще нет необходимости дискретизировать «ненагруженные области», обычно составляющие большую часть свободной поверхности, если использовать возможность выбора в МГЭ подходящего сингулярного решения [32].

1.5.3. Непрерывное моделирование полей внутри области

МГЭ включает моделирование только граничной геометрии системы. Как только получена необходимая информация о границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, в любых последовательно выбираемых внутренних точках. Более того, решение полностью непрерывно всюду внутри тела. Оказывается, что обе эти особенности присущи только МГЭ и выделяют его среди возможных альтернатив. В силу непрерывности решения исследователь может найти значения переменных в любой заданной внутренней точке, о выборе которой он может позаботиться

после основного анализа, причем с очень высокой точностью, например в областях концентрации напряжений в упругих или упругопластических телах.

1.5.4. Точность и распределение погрешности

Само по себе граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, и погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах и рядом с ними из-за невозможности выполнить численное интегрирование в замкнутой форме. Если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной (при использовании, например, криволинейных граничных элементов и непрерывно изменяющихся распределений функций на границе), то привносимые таким образом погрешности могут быть действительно очень малыми. Конечно же, численное интегрирование всегда представляет собой более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование, и ни прямой, ни непрямой МГЭ не требуют никакого дифференцирования численных величин.

Теперь уже должно быть вполне ясно, что при отсутствии объемных сил исследователь должен задать только информацию о геометрии границ области (в дополнение к граничным условиям, свойствам материала и прочим данным, общим для всех методов решения). Таким образом, усилия, направленные на подготовку данных, существенно меньше, чем требуется для любого метода, включающего геометрическое моделирование внутренней части тела. Поэтому для подавляющего большинства практических задач МГЭ обладает очень существенными преимуществами по сравнению с методами конечных элементов.