9.7. Вычисление интегралов

Для того чтобы сформировать матрицы окончательной системы уравнений (9.30) или (9.34), необходимо вычислить (причем с требуемой точностью) входящие в них интегралы. Так как

интегрировать при этом следует одновременно по пространству и по времени, то на первый взгляд может показаться, что число арифметических операций, которые необходимо выполнить, угрожающе велико. Однако более внимательный анализ этих интегралов показывает, что

1) источники, введенные в момент времени оказывают влияние лишь на события в более поздние моменты времени (т. е. дискретные события вдоль оси времени не являются обратимыми);

2) на потенциал и скорость течения в некоторой точке не оказывает влияния источник, введенный в какой-либо другой точке в тот же самый момент времени; поэтому, если приращение времени выбрано малым, а элементы находятся на некотором расстоянии друг от друга, то влияние источника, введенного в элементе, на элемент в течение времени пренебрежимо мало.

Тем не менее необходимо вычислить ряд сложных интегралов. Для подавляющего их большинства поэтому соответствующие подынтегральные выражения содержат лишь гладкие функции, и интегралы можно вычислить при помощи обычной квадратурной формулы Гаусса. В сингулярных случаях (т. е. когда точка приложения нагрузки и точка наблюдения, принадлежащие граничному элементу или объему ячейки, совпадают) интегралы нужно вычислять аналитически. Приведенные ниже результаты [2] позволяют вычислить все слагаемые, обусловленные сингулярными интегралами.

Базисные функции в различных интегралах могут быть представлены в виде суммы некоторой константы и переменного слагаемого, зависящего от переменной интегрирования. Интегралы от константы могут быть вычислены аналитически, а от переменного слагаемого — численно по пространственным переменным и аналитически по времени.

Все приведенные ниже результаты [2] получены путем интегрирования основной двумерной функции Грина для неограниченного пространства (ср. соотношение (9.7)). Используемые переменные не являются безразмерными, с — коэффициент диффузии; кроме того, используются некоторые стандартные математические функции [2,18].

Переходя к локальной системе координат с началом в точке наблюдения, как показано на рис. 9.5, и интегрируя уравнение (9.7), находим реакцию, обусловленную действием источника интенсивности

Рис. 9.5. Потенциал в начале координат, обусловленный однородным источником в внде отрезка прямой.

где функция ошибок определяется соотношениями

Соответствующая функция может быть получена непосредственно из (9.35) и имеет вид

где — угол между нормалью к границе элемента и направлением как показано на рис. 9.5.

Для того чтобы учесть начальные условия, заданные в объеме, необходимо проинтегрировать фундаментальные решения по треугольной ячейке. Если мы зададим мгновенный треугольный источник вершинами и (0,0), как показано на рис. 9.6, то сможем проинтегрировать уравнение (9.7) и найти потенциал в точке наблюдения (0,0) в момент времени обусловленный

Рис. 9.6. Мгновенный треугольный источник с вершиной в начале координат.

действием введенного при источника с линейно меняющейся по треугольнику интенсивностью константы). Таким образом, имеем

В более общем случае, когда точка наблюдения лежит внутри треугольника, потенциал может быть получен суммированием эффектов от трех вложенных в ячейку треугольников с общей вершиной в рассматриваемой точке. Используя соотношение (9.37) и обозначения рис. 9.7, находим

Рис. 9.7. Мгновенный треугольный источник с линейно меняющейся интенсивностью. .

где — величины и т. д., относящиеся к треугольнику, производные интенсивности источника в направлениях нормалей к внешним сторонам треугольника, интенсивность источника в точке наблюдения Величина составляющей скорости в направлении в точке обусловленной действием этого треугольного источника, дается выражением

где плотность распределения источников в точке, являющейся проекцией на сторону, производная плотности распределения источников в направлении

Для мгновенного (т. е. введенного в момент времени источника в виде отрезка прямой с линейно меняющейся интенсивностью потенциал в начале координат (рис. 9.5) равен

Заменяя время на и интегрируя (9.40) по можно получить формулы, аналогичные (9.35) и (9.36), для случая линейного изменения интенсивностей источников вдоль элементов.