10.2. Вязкоупругость

10.2.1. Основные уравнения

Изложенный здесь подход относится к линейным однородным вязкоупругим материалам. За исключением соотношений, связанных с историей нагружения, все другие полевые уравнения следуют непосредственно из линейной теории упругости с учетом зависимости всех переменных задачи от времени. Таким образом, уравнения равновесия в смещениях имеют вид

где вектор смещения, аналоги упругих постоянных Ламе, причем обе они зависят от времени.

Рассматривается только квазистатическая теория. Начальные условия, соответствующие начальному состоянию без напряжений, и граничные условия берутся в виде

где компоненты единичного вектора внешней нормали к границе тела, которая по предположению не меняется со временем.

Тензор напряжений теперь определяется временной зависимостью градиента смещений, подобной той, которая имеет место в соответствующих уравнениях теории упругости (гл. 4):

где .

10.2.2. Основное интегральное соотношение

Выведем еще раз интегральное соотношение для поставленной выше задачи, используя теорему взаимности (на этот раз для изотропного вязкоупругого тела). Для такого тела, на которое действуют две различные системы нагружения мы можем написать [40, 41]

Заметим, что буква обозначает время, а векторная величина всегда обозначает компоненты вектора поверхностных усилий.

Если дополнительная система, отмеченная звездочкой, выбирается в виде сосредоточенной силы (т. е. в виде решения Кельвина)

где дельта-функция Дирака, единичная функция Хевисайда (их комбинация дает единичную силу приложенную в точке в момент времени то уравнение (10.4) (для х внутри V) приводит к соотношению

устремляя в соотношении (10.5) к границе, как и прежде получаем граничное интегральное уравнение. Эквивалентный непрямой вариант МГЭ может быть выведен при помощи принципов, в общих чертах описанных в гл. 3 и 6.

10.2.3. Численное решение

Граничное уравнение, соответствующее (10.5), можно решить или методом интегральных преобразований [20, 39], или пошаговым методом [42, 43].

Пошаговый метод. Смещения и усилия в момент времени могут быть аппроксимированы с помощью дискретизации по времени следующей неявной процедурой:

где просто приращение времени, — последовательные шаги по времени.

Мы можем теперь написать уравнение (10.5) с для точки границы в момент времени в следующем виде:

где

Уравнение (10.7) можно стандартным способом свести к системе алгебраических уравнений. В результате в момент времени решается обычная задача теории упругости, что приводит к полному решению с момента времени Вязкоупругий характер рассматриваемой системы особенно ясен в содержащем сумму члене в входящем в правую часть уравнения (10.7) и, очевидно, включающем всю предысторию до момента времени Необходимо, следовательно, очень большое количество вычислений, относящихся ко всем шагам по времени (см. гл. 9). Можно, однако, воспользоваться экспоненциальной природой функций [41], характеризующих свойства материала, и использовать только ближайшую к моменту предысторию для аппроксимации силового члена Описанный выше метод был использован рядом авторов [40, 42] для решения весьма сложных задач вязкоупругости.

Методы интегральных преобразований. Довольно часто удается использовать метод интегральных преобразований для приведения основных уравнений и граничных условий в пространстве трансформант к форме, не зависящей от времени. Эта задача может быть решена для ряда значений параметров преобразования, после чего численно выполняется обращение преобразования Лапласа (переход к временной переменной). Примеры таких решений можно найти в работах Риццо и Шиппи [20,39], которым мы следуем здесь.

Определяющие соотношения для линейных изотропных вязко-упругих материалов можно переписать в виде

где компоненты девиаторов, гидростатические (объемные) компоненты полных тензоров напряжений и деформаций соответственно (т. е. функции релаксации для сдвига и изотропного сжатия соответственно. В (10.8) мы использовали обозначение Стилтьеса для свертки (следуя на этот раз работе

где предельное значение при

Если мы предположим, что граничные условия не зависят от времени, то можно взять преобразование Лапласа граничных значений обозначив их соответственно. Преобразование Лапласа скаляра, вектора или любой тензорной функции координат и времени определяется как

где параметр преобразования.

При помощи этого преобразования (10.8) приводится к следующему виду:

а уравнения равновесия и тензор деформаций соответственно упрощаются:

Подстановка в (10.12) выражений (10.11) дает

где Полученные уравнения тождественны основным уравнениям статической теории упругости, записанным в преобразованных переменных. Следовательно, заменив на на трансформанты Лапласа соответствующих вязкоупругих переменных можно использовать стандартный алгоритм теории упругости для решения любой задачи в пространстве трансформант при дискретных значениях параметра преобразования Прямой граничный интеграл для такого случая перепишется так:

где функции идентичны соответствующим функциям в статической теории упругости, за исключением того, что параметры зависят теперь от параметра преобразования Выбрав некоторое значение а следовательно, и значения мы можем решить уравнение (10.14).

Получив на обычным способом можем вычислить трансформанты Лапласа напряжений а и смещений и внутри области. Необходимые для этого интегралы должны вычисляться, конечно, в пространстве трансформант (т. е. функции ядра выражаются через Соответствующие этим трансформантам выражения (т. е. и ) как функции времени могут в принципе быть получены в результате численного обращения преобразования Лапласа.

Этот метод численного обращения преобразования Лапласа, описанный здесь в общих чертах, был предложен Шепери [45] и успешно использовался Риццо и Шиппи [20, 39] (см. также [44]).

Предположим, что функцию в пространстве можно представить в виде

где не зависят от времени, произвольное целое число.

Выполнив преобразование Лапласа уравнения (10.15) и умножив обе его части на параметр преобразования получим

Величина и последовательность значений выбираются отчасти произвольно

где Теперь выберем значений равными первым значениям т. е.

Для каждого выбранного дискретного значения скажем из (10.16) имеем

где вычисляется в дискретной точке х на границе или внутри области для конкретного значения параметра преобразования

Уравнение (10.18) приводит к уравнениям для определения значений Было найдено, что шесть значений обеспечивают достаточно точные результаты для практических целей. Для получения оптимальных результатов важно выбирать «подходящую» последовательность значений К сожалению, эта последовательность, по-видимому, изменяется с типом задачи и с поведением неустановившейся части решения. До сих пор не удалось сформулировать какое-либо общее правило.

Метод обращения в действительности представляет собой процесс подгонки, в котором коэффициенты определяются из условия лучшей аппроксимации кривой выбранной функцией. В описанном выше методе коэффициенты выбираются так, что кривая проходит через точки, количество которых равно количеству коэффициентов. Очевидно, что можно было бы использовать более сложный метод наименьших квадратов, но такое усложнение было бы бесполезно, если бы выбранная форма функции (10.15) в действительности не представляла физическое поведение искомых переменных.

10.2.4. Примеры

Единственный пример приведен Риццо и Шиппи [20,39], которые рассмотрели задачу о толстостенном полом цилиндре, заключенном внутри тонкого упругого кольца, как показано на рис. 10.1. Предполагается, что вязкоупругий материал ведет себя как упругий по отношению к радиальному давлению (объемный модуль и как линейное вязкоупругое тело при сдвиге, т. е.

где постоянные. Преобразованные функции релаксации имеют вид

Рис. 10.1. Полый вязкоупругий цилиндр.

Для вычисления использовались значения (рис. 10.1) и кольцо характеризовалось величиной

где модуль Юнга, коэффициент Пуассона, толщина кольца. Отношение принималось равным единице.

Вначале предполагалось, что или усилия равны нулю, или имеется зазор между цилиндром и кольцом; затем к внутренней границе прикладывалось однородное давление в момент Поэтому смешанные граничные условия имеют вид

где радиальные и окружные усилия, а радиальные смещения на границе.

На рис. 10.2 показана зависимость радиальных и окружных напряжений от времени (кружки) по сравнению с аналитическим решением той же задачи (сплошные линии).

Рис. 10.2. (см. скан) Зависимость напряжений в вязкоупругом цилиндре от «времени.