15.6. Решение системы уравнений

До тех пор пока не используется какой-нибудь специальный прием при проведении дискретизации (см. гл. 14), МГЭ приводит к несимметричной полностью заполненной матрице для единственной области и несимметричной блочно-ленточной матрице системы для многозонных областей. Лишь изредка время, требуемое для решения такой системы уравнений, превышает время, требуемое для формирования матриц системы.

Численное решение -зонной задачи мы проиллюстрируем на примере системы уравнений, записанной, как это обычно делается, в блочном виде (см. гл. 3), где каждая строка блоков отвечает отдельной зоне. Данная матрица является более плотно заполненной, чем это обычно требуется для применения итерационных методов; кроме того, хотя все ее диагональные элементы больше остальных в каждой строке, она не обязательно имеет диагональное преобладание, и поэтому сходимость итераций не может быть гарантирована. Такую систему уравнений, следовательно, лучше всего решать методом непосредственного исключения.

Для фиксированного числа уравнений требуемые вычислительные затраты тем меньше, чем меньше ширина ленты, независимо от того, имеют ли уравнения блочно-ленточную структуру. Минимуму ширины ленты блочной матрицы коэффициентов уравнения (15.12) (см. с. 421) отвечает упорядочение зон таким образом, чтобы максимальная разность между порядковыми номерами любых двух соседних зон была минимальной. Этот факт используется в методе конечных элементов при выборе схемы упорядочения элементов. В матрице уравнения (15.12) эта максимальная разность номеров соседних зон равна

Эффективная процедура решения системы уравнений (15.12 с блочно-ленточной матрицей была разработана Томлином 1161

(см. скан)

Он получил решения ряда многозонных задач с помощью НМГЭ; при этом использовалась процедура, основанная на гауссовском методе исключения и аналогичная известному приему, применяемому для решения систем с ленточными матрицами, — треугольному разложению матрицы; ее главное отличие состояло в том, что вместо умножения и перестановки отдельных строк элементов операции умножения и перестановки выполнялись сразу над строками блоков (матрицами). Сравнение этой процедуры с обычной техникой решения ленточных систем приводит к следующим выводам.

1. Блочная форма матрицы коэффициентов обладает тем преимуществом, что позволяет избежать бесполезных затрат памяти на хранение нулевых элементов, которые неизбежно возникают при использовании обычной поэлементной записи ленточных матриц.

2. Соответствие между реальными и программными переменными является более удобным; действительно, при этом сохраняется идентификация положения каждой строки внутри блока, тогда как в противном случае она должна быть видоизменена таким образом, чтобы указать ее положение относительно полной матрицы.

3. Поскольку на каждой стадии в операциях участвуют лишь четыре блока, а остальные блоки хранятся в основной памяти, достигается существенная экономия требуемой оперативной памяти.

На рис. 15.3 приведен алгоритм решения системы уравнений (15.12) в виде последовательности операций над матрицами (обращений, перемножений и т. д.) [16]. Так же как и в других методах решения линейных систем, основанных на треугольном разложении, здесь предусмотрена возможность решения системы для нескольких векторов правых частей и при этом разложение матрицы

Рис. 15.3. (см. скан) Алгоритм решения линейной системы с блочно-ленточнон матрицей.

выполниется лишь один раз. С использованием этой процедуры были получены решения МГЭ задач диффузии и упругопластичности (см. гл. 9 и 12).

Алгоритм, представленный на рис. 15.3, может быть применен к любой невырожденной линейной блочно-ленточной системе, в которой все ленточные блоки полностью заполнены. Для рассмотренных

здесь матриц коэффициентов блоки являются разреженными или равны нулю с самого начала процесса исключения, если зоны, представленные матрицами А на главной диагонали, не имеют соседних. Ненулевые значения появляются в виде целых строк. Заполненность матриц изменяется в процессе исключения, поэтому значительное сокращение объема вычислений может быть достигнуто путем выявления нулевых блоков и строк, с тем чтобы избежать действий над ними.

Сходная техника обращения с блочно-ленточными системами уравнений, получающимися при использовании МГЭ, была развита Лаша [1], Лаша и Уотсоном [31, Мусто [12], Дасом [18] и Девисом [19].