11.6. Пластины и балки на винклеровском основании

Простейшая применяемая на практике форма упругого основания балки и пластин представляет собой винклеровское основание, т. е. ряд тождественных близко расположенных линейных пружин без какой-либо сдвиговой связи между ними. Такое упрощение реального непрерывного упругого основания точно реализуется в случае пластин, плавающих на поверхности жидкости, и в случае довольно широкого класса оснований в виде ортотропных полупространств, в которых модули возрастают линейно с глубиной от нуля на поверхности основания [11]. Такое приближение используется также для аппроксимации многих других типов структур, особенно в строительной механике [12].

Если жесткость пружин на единицу площади основания равна то основное уравнение получается из ( добавлением нового члена:

Единственная модификация, требующаяся для алгоритмов НМГЭ и ПМГЭ, заключается в использовании отличающегося от прежнего и несколько более сложного фундаментального решения. Но даже это частично компенсируется тем, что такое решение позволяет получать абсолютную величину смещений, хорошо ведет себя на бесконечности и не требует вспомогательных параметров с в НМГЭ.

Поэтому (11.13) и (11.15) без дают формулировку НМГЭ, а (11.21) и (11.22) — формулировку ПМГЭ.

Перед получением фундаментального решения для случая винклеровского основания может быть полезно вернуться к другому примеру «одномерной» системы — обобщению модели балки из гл. 2 на случай наличия винклеровского основания. Этот вопрос обсуждается довольно подробно в работе [13], и здесь приведены только основные результаты.

Прежде всего, следуя структуре первого уравнения (11.13) и гл. 2, уравнения НМГЭ можно сразу записать в виде

а также соответствующие уравнения для где длина балки. Немедленно получаются четыре уравнения, соответствующие (11.15), из которых можно найти четыре неизвестных Уравнения ПМГЭ формулируются столь же просто и включают только замену в (11.21) и на на и исключение членов, соответствующих угловым силам. Ниже приводится перечень соответствующих фундаментальных решений основного уравнения балки на винклеровском основании

который даст читателю возможность легко решить все такие задачи

Для

Для

Соответствующие решения для пластины на винклеровском основа-дни рассматривались Герцем в 1884 г. и впервые были выражены через функции Бесселя Слейхером в 1926 г. (см. работу [9]). Фундаментальное решение для единичной вертикальной нагрузки, приложенной к бесконечной пластине на винклеровском основании, приводится Тоттенхемом [1]:

и, следовательно, из (11.106) для сосредоточенного нормального краевого момента получаем

где, как и прежде, но действительная часть функции Ганкеля первого рода от аргумента

Еще раз используя уравнения (11.1) и (11.2), можно вычислить, хотя и с некоторыми аналитическими сложностями, функции . В следующем параграфе описывается альтернативный подход, применимый и к пластинам на винклеровском основании.