3.2. Основные уравнения
Основная задача, которую мы должны решить, может быть поставлена следующим образом (рис. 3.1).
Рис. 3.1.
Двумерная однородная область А с изотропной проницаемостью 
ограничена поверхностью 
на одной части которой заданы граничные значения потенциала 
а на остальной части — значения нормальной компоненты скорости (потока) и. Внутри области А могут находиться источники или стоки определенной интенсивности 
в расчете на единицу площади. Требуется найти скорость течения и потенциал во всех внутренних точках области 
и на ее границе 
В прямоугольной декартовой системе координат 
или 
уравнение неразрывности потока является уравнением Лапласа относительно потенциала
и должно выполняться во всех точках, за исключением тех, в которых находятся источники и стоки.
Здесь мы воспользовались правилом Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Это правило будет регулярно использоваться на протяжении всей книги для сокращения записи различных выражений. Тот, кто не знаком с этим правилом, может найти краткое объяснение в приложении А.
Соответствующие компоненты вектора «скорости» течения 
выражаются в виде
отвечающем закону Дарси, закону Ома и т. п.
Мы должны решить уравнение (3.1) внутри области А при заданных условиях на ее границе 
Так, если бы на всей границе 
был задан потенциал (задача Дирихле), то мы имели бы
а если бы была задана нормальная компонента скорости (задача Неймана), то
где
причем 
являются компонентами единичного вектора внешней нормали в точке 
В более общем случае смешанной граничной задачи на каждой части границы 
задается либо 
либо и.
Прежде чем переходить к рассмотрению фундаментальных решений уравнения (3.1), заметим, что весь последующий анализ непосредственно применим к однородным анизотропным областям, для которых проницаемость задается тензором второго ранга 
(см. приложение А). Соответствующее обобщение уравнения для потока записывается так:
в силу чего уравнение неразрывности 
принимает вид
с пространственно постоянными величинами 
Однако если оси 
совпадают с направлениями главных осей тензора 
(т. е. 
приводится в них к диагональному виду с главными значениями проницаемости 
то это уравнение упрощается:
и путем введения нормированных координат 
преобразуется к виду (3.1): 
так что задача сводится к задаче для изотропной среды при 
Таким образом, последующий анализ, проводимый при условии, что указанные выше преобразования выполнены, относится одновременно к задачам для изотропных и анизотропных областей.
