3.8. Зонально-однородные тела

До сих пор мы имели дело исключительно с задачами для одной однородной области изотропного или анизотропного материала. В большинстве практических ситуаций интересующие нас объекты содержат зоны, прилегающие друг к другу и представленные материалами с различными, но однородными свойствами (т. е. являются зонально- или кусочно-однородными телами). Ниже мы дадим непосредственное обобщение основного алгоритма МГЭ, позволяющее решать задачи для составных тел, объединяющих несколько однородных зон.

В то время как матрицы, входящие в основные уравнения (3.22), (3.45), заполнены, матрицы, получающиеся в задачах для составных тел, как мы увидим в дальнейшем, имеют блочно-ленточную структуру с блоками, отвечающими отдельным зонам, и перекрестными элементами, соответствующими общим границам зон.

Пусть в общем случае имеется несколько зон каждая из которых ограничена поверхностью Там, где две зоны, например зоны 1 и 2, имеют общую поверхность, мы должны обеспечить равенство потенциалов в соответствующих точках границ и непрерывность потока через соответствующие элементы. Таким образом, на общей границе

где число компонент каждого из этих векторов граничных значений потенциала и потока равно выбранному числу (скажем, граничных элементов на общей границе.

Рис. 3.9.

Для иллюстрации мы рассмотрим двухзональную задачу (рис. 3.9), в которой, например, зона 1 будет иметь в общей сложности граничных элементов и внутренних ячеек соответственно, причем элементов будут принадлежать общей границе. Известные граничные значения потенциала и скорости для зоны 1 будем обозначать соответственно; общее число компонент этих векторов, очевидно, равно

Теперь мы можем записать основную систему уравнений (3.22) непрямого МГЭ для зоны 1 в виде

или

уравнение отличается от (3.22) лишь тем, что в нем выделены члены, обусловленные границей раздела зон; в уравнении же (3.596) эти члены объединены вместе с остальными в матрицы (матрица имеет размер

Точно такая же система уравнений может быть выписана для зоны 2:

Уравнения совместности (3.58) на границе раздела позволяют нам объединить (3.596) и (3.60) в одну систему уравнений

относительно единственного неизвестного вектора размерности постоянные С были включены в процессе формирования системы (см. уравнения (3.59)).

Как только все векторы найдены, все отдельные зоны последовательно рассматриваются как совершенно независимые области, для которых можно найти требующиеся значения на дополнительной границе раздела (например, из уравнения (3.60) непосредственно находятся или если вектор известен). Таким образом, потенциалы и потоки в любых внутренних точках каждой из областей могут быть вычислены точно так же, как и в случае однозональной задачи.

Блочная структура матриц уравнения (3.61) выясняется достаточно просто, если заметить, что наличие нулевых блоков в левой части обусловливается включением в общую систему условий (3.58) и подчиняется следующему правилу: для любых двух соседних зон первый сверху нулевой блок соответствует равенству потенциалов, второй — равенству потоков. Проиллюстрируем указанную процедуру формирования матриц на примере четырехзональной задачи для области, изображенной на рис. 3.10. Полная система уравнений относительно фиктивных потенциалов выписана ниже в такой форме, что уже не требует дополнительных пояснений:

Рис. 3.10.

(см. скан)

Ясно, что ширина ленты определяется максимумом разности номеров смежных зон, а полный размер матрицы, которая должна быть обращена для получения равен квадрату величины причем в число соответствующее каждой зоне, включены граничные элементы как на внешних, так и на внутренних границах.

В случае прямого МГЭ формирование матриц осуществляется аналогично. Для этого уравнение (3.43) удобно переписать в виде

или

Снова на примере двухзональной задачи (рис. 3.8) мы можем отделить, скажем, значения потенциала и скорости на внешней границе зоны 1 от их значений на поверхности раздела зон 1 и 2 и записать для зоны 1

а для зоны 2

Используя условия совместности (3.58), снова можно исключить значения потенциала на внутренних границах из уравнений (3.64) и привести эти уравнения к следующему виду:

Если заданы, например, все граничные значения потенциала то уравнение (3.65) позволяет нам найти поток через границу, включая его значения на внутренних поверхностях В случае смешанной граничной задачи уравнение (3.65) предварительно должно быть преобразовано относительно незаданных граничных значений переменных. Как только определены, из уравнения (3.64а) могут быть найдены компоненты после чего все значения на границе зоны 1 известны и последняя может рассматриваться совершенно независимо при определении с помощью соотношений (3.47) и (3.48) потока или потенциала в интересующих нас внутренних точках.

Четырехзональная задача (рис. 3.10) приводит к уравнению (3.66), из которого должна быть ясна общая процедура формирования матриц для многозональных областей:

(см. скан)

Форма уравнения (3.66) особенно удобна в случае задания на гранйце значений потенциала; что же касается смешанных граничных условий, то это уравнение должно быть преобразовано таким образом, чтобы все заданные на границе значения находились в его левой части.