8.2. Геометрические преобразования

Изучение криволинейных граничных элементов, неплоских поверхностных и объемных ячеек и т. д., видимо, лучше всего начать с развития некоторых геометрических идей, основанных на преобразованиях координат. Идея, лежащая в основе всего последующего анализа, может быть понята с помощью диаграмм, представленных на рис. 8.1, часть которых очень похожа на содержащиеся в известной книге Д'Арси Томпсона «Рост и форма» [2]. Ее автора заинтересовал вопрос о том, какой вид примут изображения различных представителей животного мира (например, рыбы на рис. 8.1, а, б) при достаточно простом регулярном

Рис. 8.1. Преобразование криволинейных координат.

отображении ортогональной декартовой системы координат в криволинейную систему Для нас особый интерес представляет следующее; как на этих двух рисунках криволинейные координатные линии и ограниченные ими площади (рис. 8.1, а) переходят в прямые линии и прямоугольники соответственно в плоскости на рис. 8.1, б (очевидно, такое же отображение возможно и в случае трех измерений, когда пробегает значения 1, 2, 3).

Однако вместо того, чтобы произвольным образом взять в качестве какие-либо простые линии типа показанных здесь эллипсов и гипербол, мы могли бы в принципе найти и более «хитрую» систему координат (рис. 8.1, в), в которой «граница» нашей рыбы перешла бы в прямоугольник (рис. 8.1, г) и одновременно криволинейные внутренние ячейки перешли бы в квадраты. Очевидно, что дальнейшие математические операции в случае прямолинейных границ и прямоугольных ячеек, показанных на рис. будут проще, чем в случае криволинейных элементов рис. 8.1, в. Поэтому выгоднее будет строить базисные функции и все остальное в координатах (рис. 8.1, г), помня, что мы всегда сможем преобразовать их снова в плоскость (при помощи обратного преобразования

Набор диаграмм на рис. 8.1 заслуживает пристального изучения, так как он ясно "показывает, как, например, прямые линии на одном рисунке после преобразования могут превратиться в кривые и наоборот; плоское (и объемное) преобразование может изменить одновременно форму и размер; когда координатные линии или переводятся в ортогональные декартовы оси, координатные линии становятся криволинейными.

Так как вряд ли удастся подобрать подходящую функцию указанного выше преобразования всей нашей «рыбы», мы вынуждены иметь дело с последовательностью произвольно малых «элементов» нашей системы, криволинейные границы которых локально аппроксимируются линейными, квадратичными или кубическими базисными функциями.

Если мы рассмотрим точки, заданные их координатами в глобальном декартовом пространстве и координатами в локальной криволинейной системе координат, связанной с пространством той же самой размерности, то будут функциями наоборот, Подобные уравнения преобразований записываются обычно в сокращенной форме, при этом дифференциальные компоненты линейных элементов в будут связаны соотношениями

Матрица называется матрицей Якоби преобразования

Обратный оператор, если он существует, определяется как

где

Детерминант матрицы называется якобианом преобразования. Для определения якобиана можно в равной мере пользоваться либо преобразованием (8.5), либо (8.7), однако при чтении других работ (например, книги Фына [3]) важно знать соотношения, принятые автором за основу.

Для того чтобы некоторое преобразование было обратимым (т. е. имело бы обратное) и между точками существовало взаимно однозначное соответствие в некоторой интересующей нас области (т. е. любой набор чисел определял бы единственным образом набор чисел в и наоборот), достаточно, чтобы выполнялись следующие требования [3]:

1) функции являются однозначными непрерывными функциями с непрерывными первыми частными производными в

2) якобиан должен быть конечен (т. е. в любой точке внутри

Именно эти условия гарантируют, что преобразование является допустимым. Если мы потребуем также, чтобы после преобразования правая система координат оставалась правой, т. е. наше преобразование было бы также соответственным, то для этого должен быть всюду положительным (например, для простейших преобразований между ортогональными декартовыми системами координат Далее мы регулярно будем использовать лишь несколько основных операторов преобразований; они приведены ниже, причем символы со штрихами относятся к функциям в пространстве а без штрихов — в Скалярные поля. Скалярное поле в X преобразуется тождественно к в соответствующих точках Таким образом,

(б) Векторные поля. Градиент скалярного поля скажем, в X преобразуется по правилу дифференцирования сложной функции к виду т. е.

тогда как компоненты поля бесконечно малых смещений преобразуются по правилу и

Указанные правила преобразований могут быть последовательно распространены на тензорные величины более высокого ранга; очень ясное описание этого аппарата можно найти в книге Фына [3] (см. также приложение А). Якобиан матрицы преобразования играет фундаментальную роль как при построении геометрических отображений, так и при определении изменений компонент тензоров в системах координат и С