13.3. Примеры

(а) Потенциальное течение в осесимметричном заборнике турбомашины [31]. На рис. 13.3 схематично показаны виды заборников и используемая дискретизация границ области течения, а на рис. 13.4 — экспериментально найденные и рассчитанные распределения скоростей в аксиальном заборнике при наличии втулки и при ее отсутствии. Соответствие результатов в общем является удовлетворительным, хотя при отсутствии втулки в окрестности перехода входного участка в прямой отсек экспериментальные значения несколько выше расчетных (возможно, из-за отрыва потока). Вычисленная толщина поверхностного пограничного слоя и предсказываемое положение точки отрыва приведены на рис. 13.4, б.

Численные распределения скорости по поверхности согласуются с экспериментальными данными до точки отрыва на поверхности кожуха и до положения максимума скорости на диске. На рис. 13.5 построены профили скорости и направления течения в поперечных сечениях 1 и 2, указанных на рис. 13.3, в передней части аксиального и радиального заборника соответственно. Значительный интерес представляет то обстоятельство, что экспериментальные и расчетные данные, относящиеся к передней части радиального заборника, хорошо согласуются, несмотря на полностью развитый отрыв внутреннего течения.

(б) Течение в решетке вплоть до околозвуковых скоростей при отсутствии ударных волн [26, 27]. Решения задач о потенциальном течении сжимаемой жидкости можно использовать для исследования распределения давления на поверхности решетки вплоть до околозвуковых скоростей при отсутствии ударных волн. На рис. 13.6 приведена типичная схема разбиения на ячейки области, окружающей решетку турбины, а на рис. 13.7 — распределение давления на одном профиле при различных значениях числа Маха набегающего потока. Дальнейшее увеличение числа Маха набегающего потока приводит к сверхкритическому режиму течения с образованием ударной волны, для которого решение, полученное в рамках модели потенциального течения сжимаемой жидкости, уже не является справедливым.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 13.4. (см. скан) а — распределение скорости по поверхности аксиального заборника; б - распределение скорости по поверхности, радиального заборника (6 — толщина пограничного слоя).

Таким образом, рассмотренная задача очень похожа на задачу о разрушающей нагрузке в механике деформируемого твердого тела (см. примеры (д) и (ж) в § 12.9).

(в) Медленное течение вязкой жидкости в круговой области [18]. Типичное решение задачи о гидромониторной струе приведено на рис. 13.8. При нулевом значении числа Рейнольдса

циркуляции не возникает (рис. 13.8,а), и первый вихрь появляется при значении числа Рейнольдса между 3 и 3.1. Эти решения получил Миллс [18] при помощи МГЭ, он использовал фундаментальные решения, уже удовлетворяющие граничным условиям. Вообще говоря, в этом, очевидно, нет необходимости, хотя в некоторых задачах такой прием позволяет получать хорошие результаты при существенном сокращении стоимости расчетов. Миллс указал, что его

Рис. 13.5. (см. скан) а — профиль скорости и направление потока в передней части аксиального заборника; б - профиль скорости и направление потока в передней части радиального заборника.

итерационный алгоритм становился неустойчивым при числах Рейнольдса порядка 15.

(г) Обтекание тела произвольной формы при сдвиговом (стоксовском) течении [32].

Задачу об обтекании тела произвольной формы стоксовским потоком, в частности трехмерное обтекание цилиндра конечной длины, рассматривали Янгрен и Акривос [32]. Последняя задача неоднократно исследовалась экспериментально, и поэтому ее решение представляет значительный практический интерес. Угловая скорость обтекаемого цилиндра при линейном сдвиговом течении общего вида, связана с единственным неизвестным скалярным параметром — эквивалентным отношением осей определяемым как отношение осей сфероида, который, будучи свободно подвешен в потоке с тем же самым полем скоростей на бесконечности, совершает то же самое периодическое движение, что и цилиндр (рис. 13.9).

Рис. 13-6. Типичная схема разбиения на ячейки области, окружающей решетку.

В работе [32] эта задача была решена при помощи ПМГЭ и результаты сопоставлены с экспериментальными данными, полученными другими авторами. Как можно видеть на рис. 13.9, хорошее согласование с экспериментальными данными имеет место при ; при экспериментальные результаты существенно отличаются от численных значений, хотя в этой области их разброс также весьма велик.

(д) Обтекание цилиндра вязкой жидкостью [13]. Линии тока и контуры равной завихренности, найденные численно для обтекания цилиндра при числе Рейнольдса (подсчитанном по скорости потока и диаметру цилиндра), равном 40, приведены на рис. 13.10. Показанный тип течения соответствует предельному

Рис. 13.7. (см. скан) Распределение давления при различных значениях числа Маха набегающего потока.

установившемуся процессу. Вычисленные значения коэффициента давления, отнесенного к кинетической энергии жидкости на поверхности цилиндра, приведены на рис. 13.11, а, где угол измеряется от радиуса, проведенного в критическую точку на лобовой части цилиндра.

На рис. 13.11,б показано распределение градиента нормальной составляющей завихренности на поверхности цилиндра, получающееся автоматически при использовании МГЭ, но требующее дополнительных вычислений при обращении к большинству других методов, использующих конечно-разностные соотношения с односторонними разностями различного порядка.

Другие примеры применения МГЭ к задачам механики жидкости можно найти в работах [7-14,19-27, 29,31-52], а также в гл. 3 и 5.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 13.11. а — распределение давления на круговом цилиндре; б - градиент нормальной составляющей завихренности на поверхности кругового цилиндра.