4.7. Анизотропные тела

4.7.1. Основные уравнения

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов и заметив, что наиболее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей размером откуда

Легко показать [21], что без потери общности можно представить в виде симметричной матрицы, которая поэтому имеет не более 21 независимого элемента. Мы рассмотрим решения, для которых

Рис. 4.8.

имеет только девять элементов, сто означает, чти маигриал должен иметь три плоскости упругой симметрии (т. е. представлять собой некоторвш ортотропный упругий континуум; рис. 4.9, а). Соотношение (4.68), записанное для этого случая в развернутой форме, имеет вид

(здесь предполагается, что оси координат перпендикулярны плоскостям упругой симметрии). В (4.69) - модуль Юнга для направления по нормали к плоскостям упругой симметрии и модуль сдвига для направления по касательной к тем же плоскостям соответственно, коэффициент Пуассона, определяющий деформации растяжения в направлении вызванные единичным сжимающим напряжением в направлении. Другие элементы определяются аналогично при помощи циклической перестановки индексов. Для симметричной матрицы мы получаем, что (т. е. ). Это означает, что (4.69) содержит - лишь девять независимых элементов. Более того, чтобы функция упругой энергии была положительно определенной, необходимо ввести следующие ограничения на отдельные упругие постоянные [22]:

Эти неравенства оказываются полезными при проверке пригодности как найденных экспериментально, так и произвольно принятых в качестве приближения значений упругих постоянных. Они гарантируют также, что все вычисленные напряжения, деформации и

включающие корни выражения в функциях податливости являются действительными числами.

Аналогом соотношений (4.70) для изотропного тела являются известные неравенства хотя стоит отметить, что имеются ортотропные материалы с коэффициентом Пуассона, выходящим далеко за пределы этой области. Лемприер [22] описывает композиты с перекрестной армировкой, у которых одна компонента равна 1.97.

Уравнение (4.69) приводит к системе уравнений, эквивалентных (4.2); это изотропный случай, когда и все коэффициенты Пуассона совпадают с а эти три параметра сводятся к двум независимым параметрам с помощью соотношения Если наложить на упругие параметры другое условие (рис. 4.9, б), а именно условие упругой симметрии по отношению к повороту, скажем то (4.69) будет связывать компоненты напряжений и деформации в трансверсально изотропном материальном элементе. Легко видеть, что такая симметрия приводит к соотношениям

В результате трансверсально изотропное упругое тело можно полностью задать при помощи пяти упругих параметров (например,

Фундаментальное сингулярное аналитическое решение задачи о нагрузке, действующей вдоль прямой в безграничном ортотропном упругом пространстве, получил Томлин [4]. Если использовать это решение, а не его аналог для простого изотропного случая для получения функций ядра при построении соотношений МГЭ, то можно решать двумерные задачи и для ортотропной, и для трансверсально изотропной среды. Единственное необходимое изменение в процедуре решения, описанной выше в этой главе, заключается в том, что новое сингулярное решение должно использоваться для вычисления элементов всех матриц