2.3. Применение непрямого метода граничных элементов

Отправной точкой любого варианта МГЭ является осознание того, что фактически для всех классических уравнений механики сплошных сред в нашем распоряжении имеются решения, отвечающие единичным возмущениям, приложенным во внутренних точках однородной неограниченной области. Это так называемые единичные (фундаментальные) сингулярные решения, или функции Грина для неограниченных областей, или пространственные функции Грина и т. д. МГЭ позволяет объединить такие решения посредством использования принципа суперпозиции в высокоэффективную вычислительную схему большой гибкости.

2.3.1. Одномерное потенциальное течение

Если мы вернемся к нашей задаче об одномерном потенциальном течении и рассмотрим область неограниченной протяженности, как показано на рис. 2.5, то немедленно сможем записать соответствующие данному случаю решения уравнений (2.1) и (2.2):

Рис. 2.5.

Координата в этом простейшем решении для неограниченной области равна расстоянию между точкой приложения нагрузки и точкой наблюдения Если О — начало абсолютной системы координат (рис. 2.5), то В неограниченных системах можно определить не функцию а лишь ее отклонения от некоторого фиксированного значения, например от в данном случае мы выбрали Для систем неограниченной протяженности, играющих основную роль во всех МГЭ, мы будем пользоваться символом для обозначения источников вообще (как на рис. 2.5), сохраняя символ для источников известной интенсивности, сосредоточенных в заданных внутренних точках системы.

Перепишем теперь уравнения (2.5а, б), введя две формы общих обозначений, которые часто будут использоваться при символическом представлении решений более сложных задач:

Первая формула в (2.5в) выражает функциональное соотношение между величиной в точке и некоторым объектом зависящим от упорядоченной пары точек такое, что произведение дает значение некоторого параметра в точке в данном случае Второй вариант этого соотношения является его точным эквивалентом, выраженным через абсолютные координаты точек т. е. и

Точно так же есть функция, умножение которой на дает скорость потока в точке

Функция использованная в уравнении (2.56), обладает следующими свойствами:

но

Использование этой функции не только гарантирует (как это и должно быть) изменение знака вместе со знаком но приводит также к необходимости различать где и тем самым позволяет автоматически учесть скачкообразное изменение при (т. е. позволяет оперировать с многозначной при функцией Введение в уравнение (2.5а), напротив, обеспечивает неизменность знака (т. е. сохраняет естественную однозначность

Следующие шаги иллюстрируют метод решения, основанный на уравнениях (2.5) и фактически являющийся примером применения непрямого МГЭ. В результате получается алгоритм, применяемый без изменений к любым одномерным задачам о стационарном потенциальном течении. Для большей ясности мы продемонстрируем его на смешанной граничной задаче, представленной на рис. 2.6. Ключевой методический прием состоит в помещении «реальной» системы (рис. 2.6) в неограниченную область для построения фиктивной системы, изображенной на рис. 2.7. Причина добавления

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

звездочек ко всем символам «реальной» системы на рис. 2.6 далее становится понятной, так как те же самые символы без звездочек используются в «фиктивной» системе при разработке процедуры построения решения.

Границами одномерной области являются просто две ее крайние точки и, следовательно, достаточно ввести два «граничных элемента»: один в точке другой в точке Решающий шаг состоит во введении фиктивной системы источников, помещенных в обоих граничных элементах и называемых далее фиктивными источниками. Их интенсивности заранее не известны, однако влияние этих источников на каждую внутреннюю точку может быть выражено в виде (2.5). Нас будет интересовать главным образом одновременное влияние на точки фиктивных источников и источника находящегося в точке В. Выбирая для удобства произвольный размер и пользуясь соотношениями (2.5а, б), мы можем написать следующие выражения для потенциалов и скоростей в точке фиктивной системы:

Здесь использована смешанная форма обозначений. Различие между символами и применяемыми нами для обозначения источников, состоит в том, что относится к источникам заданной, вполне определенной интенсивности, как указывалось выше, тогда как сохраняется исключительно для «фиктивных источников» (здесь это приложенных к границам «фиктивной» системы.

Если теперь в качестве точки наблюдения мы выберем точки, находящиеся на расстоянии от (т. е. точки, совпадающие с при то сможем записать

Особенно важно убедиться, что точка наблюдения стремится к граничным элементам, т. е. к точкам с внутренней стороны интересующей нас области, где вычисляются внутри малой -окрестности точек при Знак минус перед в уравнении для наоборот, знак плюс перед в уравнении (2.7в) должны быть тщательно выверены. В то время как значения определяются однозначно даже при совпадении точек приложения нагрузки и наблюдения

функция V, как было указано выше, в этой ситуации является многозначной, и значение в уравнении (2.56) не определено. Неопределенность снимается нашим условием, что точка наблюдения всегда лежит внутри (т. е. мы считаем интервал замкнутым) и стремится к или с внутренней стороны всегда, когда мы имеем дело с внутренней частью области Правильные знаки перед в (2.7в) тогда получаются автоматически, так как в указанных двух случаях принимает соответственно значения Если бы нас, наоборот, интересовала «внешняя задача» (т. е. область простиралась бы неограниченно вне то принимало бы значения и при стремлении соответственно к

Потребуем теперь, чтобы граничные условия в точках фиктивной системы в точности совпадали с условиями реальной задачи; отсюда следует, что в уравнениях (2.7а) и ( соответственно т. е. получаются два уравнения:

из которых в принципе могут быть найдены обе неизвестные величины Их значения могут затем быть использованы в (2.6) для вычисления в любой интересующей нас внутренней точке х отрезка

Прежде чем подробно описывать этот шаг, необходимо отметить, что из системы четырех уравнений (2.7) мы использовали лишь два уравнения (2.7а, г), соответствующие двум заданным граничным значениям и (В корректно поставленной задаче для линейного дифференциального уравнения второго порядка мы всегда будем иметь те или иные параметры или их линейные комбинации заданными в каждой точке границы.) Мы намеренно выбрали в качестве нашего примера более сложную «задачу со смешанными граничными условиями» при заданном в точке и V, заданном в точке Если бы мы обратились к задаче, подобной представленной на рис. 2.1, с заданными значениями то получили бы уравнения, сходные с (2.8), потребовав эквивалентности в уравнениях (2.7а, б). Мы увидим, что даже в более сложных задачах из системы, очень похожей на (2.7), фактически всегда можно выбрать нужные уравнения, образующие разрешимую систему (2.8), из которой можно найти соответствующие значения

Более удивительным оказывается (это будет установлено в дальнейшем), что подобные (2.8) уравнения получаются непосредственно при введении фиктивных источников во всех трехмерных областях, тогда как в большинстве одномерных и двумерных задач они требуют некоторых преобразований. Дополнительные изменения связаны с тем, что в уравнении (2.5а) фигурируют, как уже

отмечалось, лишь относительные значения потенциалов. Во всех случаях, когда могут быть вычислены лишь относительные значения переменных, необходима некоторая модификация уравнений. Как легко видеть из уравнений (2.5), при неограниченном увеличении также неограниченно возрастает, но для того, чтобы давали единственное решение нашей задачи, их суммарный эффект должен сводиться к обращению в нуль полного потока через бесконечно удаленные границы.

Это физически оправданное требование [2] будет обсуждаться более подробно ниже. Пока же мы заметим, что это условие эквивалентно требованию обращения в нуль суммы интенсивностей всех приложенных источников Так как данные, по которым могут быть измерены потенциалы, весьма неопределенны (как, например, выбор I в уравнении (2.5а)), мы можем привести их к некоторой константе С (заранее не известной), одинаковой во всей неограниченной области, точно так же, как величины, используемые в качестве гидравлических потенциалов, или значения потенциала земли при рассмотрении электрических потенциалов могут отсчитываться от любого выбранного нами уровня.

Такое приведение исходных данных просто изменит значения всех потенциалов на константу С, не влияя на величину Если мы введем модифицированные источники в уравнение (2.5а), такие, что и потребуем, чтобы С принимало значение, при котором сумма интенсивностей всех источников обращается в нуль, то уравнение (2.5а) превратится в равенство и уравнения (2.8), следовательно, можно будет переписать в виде системы относительно

или в матричной форме:

где последнее уравнение является следствием условия обращения в нуль суммы интенсивностей источников. Так как величины численно заданы, то они должны остаться неизменными после указанной выше процедуры приведения. Хотя предшествующее объяснение приведения значений потенциалов к константе С, возможно, было несколько многословным, читатель должен заметить, что соответствующие изменения в уравнениях (2.8) при переходе

к (2.9) оказываются достаточно тривиальными и могут быть выполнены сразу же после их получения.

Решение уравнений (2.9) находится элементарно:

Снова подставив эти значения в уравнения (2.6), мы можем вычислить и в любой точке внутри Так, при

следовательно,

и аналогично при

Соотношения (2.10), очевидно, совпадают с предыдущим решением той же самой задачи в виде (2.4).

Перед тем как перейти к следующим иллюстративным примерам, напомним элементарные действия, составляющие рассмотренную выше процедуру построения решения, так как они не могли не «утонуть» в сопровождающих их объяснениях. Эти действия представляют собой последовательность из пяти шагов..

1. Получение фундаментальных решений для неограниченной области (2.5).

2. Вывод непосредственно из (2.5) требуемой системы соотношений (2.8), связывающей неизвестные фиктивные интенсивности граничных потенциалов и известные интенсивности внутренних источников с заданными условиями на границах.

3. Дополнение этих соотношений до (2.9) путем приведения величин потенциалов к некоторой константе С, определяемой из условия равенства нулю суммарного потока.

4. Решение системы (2.9) для определения всех

5. Подстановка и С в (2.6) для получения значений в каждой точке области.

Необходимо отметить, что изложенный выше алгоритм может быть без изменений применен к задачам о двумерных и трехмерных потенциальных течениях, причем в трехмерном случае необходимость в третьем шаге отпадает.

Анализ этого решения показывает также, что увеличение числа внутренних источников приводит лишь к появлению дополнительных слагаемых в компонентах второго вектора в правой части системы (; при этом число неизвестных, подлежащих определению, не меняется, оставаясь на единицу большим числа граничных элементов. Наличие члена, равного нулю, на диагонали

матрицы в левой части (2.9г) не приводит к ее вырождению, и при соблюдении надлежащей осторожности эта матрица может быть обращена одним из стандартных методов.

2.3.2. Задача о балке

В качестве примера применения непрямого МГЭ к системе, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка, рассмотрим задачу об обычной однородной балке, находящейся под действием сосредоточенных сил и моментов, как показано на рис. 2.8.

Рис. 2.8. .

Длина балки равна момент инерции сечения в плоскости изгиба равен а модуль Юнга материала, из которого она изготовлена, равен Один конец балки заделан, и, следовательно, в нем прогиб и угол поворота одновременно равны нулю. Другой конец свободно оперт (т. е. в нем изгибающий момент и относительно смещен вниз на расстояние

Такая задача о балке со смешанными граничными условиями относится к классу статически неопределимых. Прогиб должен удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка

всюду, за исключением точек приложения нагрузок В данном случае имеется только два граничных элемента (один в точке другой в точке и поэтому в корректно поставленной задаче для линейного дифференциального уравнения

четвертого порядка в каждом из них должно быть задано по два граничных условия. Приложенные нагрузки могут быть либо сосредоточенными силами, как либо сосредоточенными моментами, как

Следуя описанной в разд. 2.3.1 процедуре построения решения, поместим нашу балку в такую же одномерную неограниченную область и рассмотрим реакцию системы в некоторой точке наблюдения на фиктивные нагрузки двух типов приложенные в точке (рис. 2.9).

Рис. 2.9.

В неограниченной системе снова некоторые параметры, такие, как смещения и углы поворота принимают лишь относительные значения, и поэтому мы будем считать их равными нулю при Полагая для удобства где для неограниченной системы, на которую действуют найдем фундаментальные решения уравнения (2.11), имеющие, как легко показать, следующий вид [3]: в случае сосредоточенной силы

в случае сосредоточенного момента

Как и ранее, мы выписали полный набор решений, хотя не все из них обязательно потребуются в любой конкретной задаче. Выражения и (2.13в), содержащие члены с опять-таки являются многозначными при (т. е. при совпадении точек приложения нагрузки с точкой наблюдения и, следовательно, должны находиться как пределы при стремлении точки к точке (обычно на границе) изнутри интересующей нас области (здесь

Считая заданными по два граничных условия в каждом концевом (граничном) элементе, мы приложим к каждому из них по две нагрузки, как показано на рис. 2.9, являющиеся компонентами двух двумерных векторов а именно

Второй шаг процедуры построения решения состоит в получении уравнений, связывающих фиктивные и все заданные нагрузки вида

и осуществляется путем подстановки, в уравнения (2.12) и (2.13) известных граничных значений, в данном случае Так как I произвольно, мы снова для простоты положим Прежде чем сделать это, мы можем записать (в символических обозначениях) для каждой внутренней точки следующие уравнения!

В таком виде эти уравнения выглядят крайне непривлекательно. однако при внимательном их изучении обнаруживается скрытая

простота их формы, состоящая в том, что коэффициенты при всех членах при численном решении могут быть получены простой подстановкой значений координат в известные функции (ядра D, Е, F, G, К, L, М, N), выписанные в (2.12) и (2.13) и являющиеся решениями в случае сосредоточенной силы и сосредоточенного момента для бесконечной балки.

В матричных обозначениях эти уравнения могут быть записаны компактно:

Помещая, как и ранее, точку наблюдения х последовательно в граничные элементы так, что соответственно, и используя лишь те уравнения, левые части которых заданы на границах, получаем

где

Читателю рекомендуется проверить все члены уравнений (2.15), обращая особое внимание на знаки каждого из них.

Излагаемая процедура предназначена прежде всего для создания совершенно общего алгоритма, который может быть запрограммирован для решения сложных задач. Почти неизбежно при этом, что операции, обычно выполняемые численно, оказываются чрезвычайно громоздкими при попытке выполнить их алгебраически для получения ответа в замкнутом виде даже в случае такой

простой задачи, как наша. Тем не менее мы считаем, что переходу к решению усложненных задач должно предшествовать ясное понимание физического смысла различных операций, и поэтому мы найдем алгебраическое решение нашей задачи о подпертой консоли, но при упрощенных условиях, а именно при отсутствии внешних нагрузок (т. е. при

Таким образом можно разрешить полученные уравнения (2.15) относительно четырехмерного вектора а затем подставить компоненты в соответствующие уравнения (2.12) и (2.13) или (2.14) для вычисления, скажем, изгибающего момента в точке или перерезывающей силы в точке Например, находится из (2.14) путем перехода к пределу при в выражении

Если подставить сюда значения найденные из уравнений то получится неверный результат! Правильный ответ, как легко показать, должен быть

Ошибка возникает из-за того, что при удалении точки в бесконечность различные параметры, вычисляемые по формулам (2.12) и (2.13), не стремятся к постоянным значениям, а непрерывно возрастают. В результате решение на бесконечно удаленной границе не всегда определяется только суммарным вкладом всех как это должно быть при правильном решении задачи. Указанное затруднение, к счастью, легко преодолеть с помощью приема, сходного, по существу, с использованным в примере о потенциальном течении. Наша неограниченная система снова допускает некоторый произвол, обусловленный на этот раз возможностью перемещения всей области как абсолютно жесткого тела (в направлении оси ). Величина этого перемещения, скажем должна быть выбрана так, чтобы выполнялось соотношение

Это, по существу, уравнение равновесия системы в целом в проекции на ось которому иначе можно было бы удовлетворить только приложением некоторых воздействий на бесконечно удаленной границе. Мы можем определить также еще одну константу, скажем совпадающую с величиной угла поворота всей области как абсолютно жесткого тела и выбранную таким образом, что выполняется соотношение

являющееся формой уравнения равновесия относительно поворота. Согласно принципу Сен-Венана, на бесконечно удаленной границе результирующее влияние внешних воздействий, при

которых две указанные выше суммы обращаются в нуль, также равно нулю. Далее, так как перемещение и угол поворота как абсолютно жесткого независимы, их частные производные равны нулю, и расширенная система уравнений, которой следует заменить (2.14), может быть выписана непосредственно в виде

где заштрихованные блоки тождественны соответствующим - блокам в системе (2.14). Решение этой системы дает уже единственные значения удовлетворяющие условиям нашей задачи. В качестве упражнения предоставляем читателю убедиться в том, что при

откуда, используя уравнение (2.16), находим правильные значения

Стоит отметить, что матрица размером в уравнении (2.17) по-прежнему не зависит ни от одной из величин, заданных граничными условиями и являющихся компонентами вектора в левой части и вектора нагрузок Последний, очевидно, может содержать любое число компонент, отвечающих сосредоточенным нагрузкам, что не будет приводить к ощутимому усложнению решения. Кроме того, мы увидим, что в двумерных задачах, где число граничных элементов, а следовательно, и компонент вектора 9 значительно возрастает, должен быть введен лишь один параметр С в случае потенциального течения и два параметра для плоских задач теории упругости. Поэтому общее число уравнений, которое в данном случае становится сравнительно большим, при удовлетворении условий на бесконечности возрастает незначительно - лишь на одно или два соответственно.

Типичное граничное условие другого типа, скажем в точке возникающее в случае упругой опоры (пружины), имеет вид где жесткость опоры в точке Рекомендуем читателю получить выражение для через дополнить им уравнения (2.17) и убедиться, что этих уравнений вместе с приведенным выше соотношением также достаточно для решения задачи.

Теперь мы воспользуемся теми же простыми примерами для демонстрации иного варианта МГЭ.